Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Phân tích khấu hao đo lường điều gì?

  1. AChi phí của một thuật toán trên đầu vào tốt nhất
  2. BChi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất
  3. CChi phí của thao tác đơn lẻ tốn kém nhất ở bất kỳ đâu trong chuỗi
  4. DChi phí kỳ vọng trên các đầu vào ngẫu nhiên
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tìm kiếm nhị phân không cho thời gian O(log n) trên một danh sách liên kết đơn?

  1. ACác phép so sánh trên nút danh sách liên kết chậm hơn
  2. BTìm kiếm nhị phân cần ít nhất gấp đôi bộ nhớ
  3. CDanh sách liên kết không thể được sắp xếp
  4. DĐến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL duy trì điều kiện cân bằng nào tại mọi nút?

  1. AMỗi nút được tô đỏ hoặc đen
  2. BCả hai cây con của mọi nút chứa đúng cùng số nút
  3. CMọi lá ở cùng một độ sâu chính xác
  4. DChiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Băm kép chủ yếu giảm vấn đề nào của dò tuyến tính?

  1. AHiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra
  2. BChi phí O(n) để đọc giá trị của một khóa
  3. CNhu cầu lưu khóa trong bảng
  4. DNhu cầu có hàm băm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 2 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 4 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
91514121315488ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(G) của đường đi ngắn nhất từ A đến G trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: G
d(G) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Chi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất

Vì sao đây là đáp án

Phân tích khấu hao trải chi phí của các thao tác tốn kém hiếm gặp lên nhiều thao tác rẻ, cho một mức trung bình được đảm bảo với mọi chuỗi thao tác.

Đáp số

B · Chi phí trung bình mỗi thao tác trên một chuỗi thao tác xấu nhất
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp

Vì sao đây là đáp án

Tìm kiếm nhị phân cần truy cập O(1) vào phần tử giữa; trên danh sách liên kết, đi đến đó tốn thời gian tuyến tính, nên tổng là O(n).

Đáp số

D · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1

Vì sao đây là đáp án

Hệ số cân bằng (chiều cao trái − chiều cao phải) phải là −1, 0 hoặc 1; các phép xoay khôi phục nó sau khi chèn và xóa.

Đáp số

D · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Hiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra

Vì sao đây là đáp án

Dò tuyến tính bước từng 1, nên các dãy bị chiếm lớn dần và nhập lại; băm kép dùng một hàm băm thứ hai cho bước nhảy để các khóa khác nhau dò theo các chuỗi khác nhau.

Đáp số

A · Hiện tượng gom cụm sơ cấp, khi các dãy ô bị chiếm dài ra
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 19

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 43 = 2(L + 13) − 2
L = 19

Đáp số

L = 19

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(G) = 23

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 9, C: 15
B (9): D: 21
C (15): E: 28, G: 23
D (21)
G (23)
E (28): F: 32
F (32)

Đường đi ngắn nhất

A → C → G
d(G) = 23

Đáp số

d(G) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms