Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Có đúng không khi nói một thuật toán O(n²) cũng là O(n³)?

  1. AKhông, vì n³ nhỏ hơn n² khi n lớn
  2. BKhông, vì Big O phải luôn cho tốc độ tăng chính xác của hàm
  3. CĐúng, nhưng chỉ khi n nhỏ hơn 100
  4. DĐúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về việc chọn phần tử nhỏ thứ k của một mảng chưa sắp xếp là đúng?

  1. AQuickselect chạy trong O(log n) ở trường hợp xấu nhất, vì nó chỉ đệ quy một phía của phần tử chốt
  2. BViệc chọn chỉ có thể thực hiện trong O(n²)
  3. CQuickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
  4. DViệc chọn luôn cần Ω(n log n) vì nó đòi hỏi sắp xếp
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân min lưu trong mảng (chỉ số bắt đầu từ 0), các con của nút ở chỉ số i nằm ở:

  1. A2i + 1 và 2i + 2
  2. B2i và 2i + 1
  3. Ci + 1 và i + 2
  4. Di/2 và i/2 + 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Độ phức tạp thời gian của decrease-key trong đống nhị phân (biết vị trí phần tử) là:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 8 đỉnh và 11 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 8|E| = 11
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
47468312144ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³

Vì sao đây là đáp án

Big O là cận trên, nên phát biểu đúng nhưng không chặt; Θ(n²) nêu tốc độ tăng chính xác.

Đáp số

D · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất

Vì sao đây là đáp án

Công việc kỳ vọng của Quickselect là n + n/2 + n/4 + ... = O(n) với pivot ngẫu nhiên; chọn pivot là trung vị của các trung vị làm trường hợp xấu nhất tuyến tính.

Đáp số

C · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · 2i + 1 và 2i + 2

Vì sao đây là đáp án

Với mảng bắt đầu từ 0, con trái ở 2i + 1, con phải ở 2i + 2, và cha ở ⌊(i − 1)/2⌋.

Đáp số

A · 2i + 1 và 2i + 2
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Sau khi giảm khóa, phần tử được đẩy lên nhiều nhất bằng chiều cao của đống. Đống Fibonacci đạt decrease-key khấu hao O(1).

Đáp số

C · O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 4

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

8 − 1 = 7

Các cạnh cần bỏ

k = 11 − 7 = 4

Đáp số

k = 4
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 23

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 4, C: 7
B (4): G: 16
C (7)
G (16): D: 30, E: 20
E (20): D: 26, F: 23
F (23)
D (26)

Đường đi ngắn nhất

A → B → G → E → F
d(F) = 23

Đáp số

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms