Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Tìm kiếm nhị phân cần khoảng bao nhiêu phép so sánh trong trường hợp xấu nhất trên một mảng đã sắp xếp có 1,000,000 phần tử?

  1. AKhoảng 100
  2. BKhoảng 1,000
  3. CKhoảng 20
  4. DKhoảng 500,000
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Định lý Cook–Levin đã thiết lập điều gì?

  1. AP không bằng NP
  2. BBài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ
  3. CMọi bài toán NP đều giải được trong thời gian hàm mũ
  4. DBài toán dừng là bất khả quyết định
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Tìm một từ có độ dài L trong trie với bảng chữ cái cố định mất bao lâu?

  1. AO(L × n)
  2. BO(n), với n là số từ
  3. CO(log n), với n là số từ
  4. DO(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Làm thế nào phát hiện danh sách liên kết đơn có chu trình hay không bằng O(1) bộ nhớ thêm?

  1. AĐếm số nút cho đến khi số đếm vượt trường độ dài của danh sách
  2. BSắp xếp danh sách và tìm phần tử trùng
  3. CLưu mọi nút đã thăm trong một tập băm
  4. DDi chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 11 đỉnh và 13 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 11|E| = 13
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ F đến C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Khoảng 20

Vì sao đây là đáp án

220 ≈ 1,048,576, nên sau khoảng 20 lần chia đôi chỉ còn lại một phần tử.

Đáp số

C · Khoảng 20
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Bài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ

Vì sao đây là đáp án

Cook và Levin độc lập chỉ ra rằng mọi bài toán trong NP đều quy dẫn về SAT trong thời gian đa thức, nên SAT là bài toán NP-đầy đủ đầu tiên được biết.

Đáp số

B · Bài toán thỏa mãn Boole (SAT) là NP-đầy đủ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu

Vì sao đây là đáp án

Mỗi ký tự chọn một con, nên tra cứu mất L bước bất kể trie chứa bao nhiêu từ.

Đáp số

D · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không

Vì sao đây là đáp án

Trong thuật toán Floyd, nếu có chu trình thì con trỏ nhanh cuối cùng bắt kịp con trỏ chậm; nếu không con trỏ nhanh đến null.

Đáp số

D · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 3

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

11 − 1 = 10

Các cạnh cần bỏ

k = 13 − 10 = 3

Đáp số

k = 3
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)FC = 0·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms