Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của Fibonacci đệ quy ngây thơ (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) là:

  1. ALogarit
  2. BHằng số
  3. CHàm mũ
  4. DTuyến tính
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

n! và 2ⁿ so sánh với nhau thế nào khi n lớn?

  1. An! tăng nhanh hơn 2ⁿ
  2. Bn! là O(n²)
  3. CChúng tăng với cùng tốc độ
  4. D2ⁿ tăng nhanh hơn n!
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Tìm một từ có độ dài L trong trie với bảng chữ cái cố định mất bao lâu?

  1. AO(L), không phụ thuộc số từ được lưu
  2. BO(n), với n là số từ
  3. CO(L × n)
  4. DO(log n), với n là số từ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tìm một khóa tùy ý trong đống min nhị phân n phần tử mất bao lâu?

  1. AO(1)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K5 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K5
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Hàm mũ

Vì sao đây là đáp án

Cây lời gọi tăng xấp xỉ φⁿ (khoảng 1,618ⁿ). Ghi nhớ giảm nó xuống O(n).

Đáp số

C · Hàm mũ
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · n! tăng nhanh hơn 2ⁿ

Vì sao đây là đáp án

Với n ≥ 4, n! vượt 2ⁿ, và tỷ số tăng không giới hạn vì mỗi thừa số thêm của n! lớn hơn 2.

Đáp số

A · n! tăng nhanh hơn 2ⁿ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu

Vì sao đây là đáp án

Mỗi ký tự chọn một con, nên tra cứu mất L bước bất kể trie chứa bao nhiêu từ.

Đáp số

A · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Đống không có quy tắc nào cho biết cây con nào chứa một khóa, nên trong trường hợp xấu nhất phải kiểm tra mọi nút; chỉ giá trị nhỏ nhất là tìm nhanh.

Đáp số

D · O(n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 12

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Đáp số

H = 12
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 1 0 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 0·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms