Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?

  1. ATham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
  2. BTham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
  3. CTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
  4. DTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về việc chọn phần tử nhỏ thứ k của một mảng chưa sắp xếp là đúng?

  1. AQuickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
  2. BViệc chọn chỉ có thể thực hiện trong O(n²)
  3. CQuickselect chạy trong O(log n) ở trường hợp xấu nhất, vì nó chỉ đệ quy một phía của phần tử chốt
  4. DViệc chọn luôn cần Ω(n log n) vì nó đòi hỏi sắp xếp
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Tìm một từ có độ dài L trong trie với bảng chữ cái cố định mất bao lâu?

  1. AO(n), với n là số từ
  2. BO(L × n)
  3. CO(L), không phụ thuộc số từ được lưu
  4. DO(log n), với n là số từ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao cây B được dùng trong cơ sở dữ liệu và hệ thống tệp?

  1. AChúng lưu dữ liệu không sắp xếp
  2. BHệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm
  3. CChúng dùng ít bộ nhớ hơn bất kỳ mảng nào, nên toàn bộ chỉ mục luôn vừa trong bộ nhớ chính
  4. DChúng không cần cân bằng lại
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K4 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K4
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2

Vì sao đây là đáp án

Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.

Đáp số

D · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất

Vì sao đây là đáp án

Công việc kỳ vọng của Quickselect là n + n/2 + n/4 + ... = O(n) với pivot ngẫu nhiên; chọn pivot là trung vị của các trung vị làm trường hợp xấu nhất tuyến tính.

Đáp số

A · Quickselect chạy trong thời gian kỳ vọng O(n), và trung vị của các trung vị đảm bảo O(n) trong trường hợp xấu nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu

Vì sao đây là đáp án

Mỗi ký tự chọn một con, nên tra cứu mất L bước bất kể trie chứa bao nhiêu từ.

Đáp số

C · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Hệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm

Vì sao đây là đáp án

Cây B lưu nhiều khóa trên mỗi nút, nên chiều cao nhỏ và mỗi lần tra cứu cần ít lần đọc khối; cây B+ còn liên kết các lá để quét theo khoảng.

Đáp số

B · Hệ số phân nhánh cao giữ cây nông, giảm số lần đọc đĩa chậm
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 3

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Đáp số

H = 3
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 4

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 4

Đáp số

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms