Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quicksort luôn dùng phần tử đầu tiên làm pivot. Trên đầu vào nào nó thể hiện hành vi xấu nhất?

  1. AMột mảng có độ dài 2
  2. BMột mảng mà các phần tử đều khác nhau
  3. CMột mảng có thứ tự ngẫu nhiên
  4. DMột mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Để chứng minh một bài toán mới X là NP-khó, bạn phải làm gì?

  1. AChứng minh X không có thuật toán đa thức cho đầu vào nhỏ
  2. BQuy dẫn một bài toán NP-khó đã biết về X trong thời gian đa thức
  3. CQuy dẫn X về một bài toán NP-khó đã biết trong thời gian đa thức
  4. DChứng minh X kiểm chứng được trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL và cây đỏ-đen đảm bảo:

  1. ATìm kiếm thời gian hằng số trong mọi trường hợp
  2. BKhông nút nào có hai con
  3. CCác khóa được lưu theo thứ tự chèn
  4. DChiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Mảng động nhân đôi khi đầy. Vì sao nhiều cách cài đặt chỉ thu nhỏ nó khi đầy một phần tư, không phải một nửa?

  1. AVì chia đôi ở một nửa sẽ làm mất phần tử
  2. BĐể tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
  3. CVì bộ cấp phát bộ nhớ chỉ có thể giải phóng bộ nhớ theo phần tư của một khối
  4. DĐể giữ mảng được sắp xếp
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
12913117188ABCDE

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh C. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 2.

bắt đầu: Ck = 2
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Một mảng đã được sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Trên đầu vào đã sắp xếp, pivot luôn là giá trị nhỏ nhất, nên một bên rỗng và bên kia có n − 1 phần tử, cho O(n²).

Đáp số

D · Một mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Quy dẫn một bài toán NP-khó đã biết về X trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Nếu một bài toán khó đã biết có thể được biến đổi hiệu quả thành X, thì một thuật toán nhanh cho X cũng sẽ giải được bài toán đã biết.

Đáp số

B · Quy dẫn một bài toán NP-khó đã biết về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại

Vì sao đây là đáp án

Cây tự cân bằng giữ chiều cao ở mức logarit, nên tìm kiếm, chèn và xóa là O(log n) trong trường hợp xấu nhất.

Đáp số

D · Chiều cao O(log n) nhờ cân bằng lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Để tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới

Vì sao đây là đáp án

Thu nhỏ ở một nửa có thể gây đổi kích thước ở mọi thao tác trong chuỗi như vậy; khoảng cách giữa 1/4 và đầy giữ chi phí khấu hao ở O(1).

Đáp số

B · Để tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Các đỉnh lẻ

A, B, D, G → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh AB

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. AC (9)
2. AB (12)
3. BD (1)
4. BE (8)

cạnh số 2

AB

Đáp số

cạnh AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms