Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
2Bài tập
1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình
Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?
AChọn hoạt động ngắn nhất trước
BChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
CChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
DChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó
Cận nào là đúng cho log(n!)?
AΘ(n)
BΘ(n²)
CΘ(n log n)
DΘ(log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình
Các khóa 50, 30, 70, 20, 40 được chèn theo thứ tự này vào một cây tìm kiếm nhị phân rỗng. Con trái của 30 là gì?
A20
B70
C40
D50
4.Cấu trúc dữ liệuKhó
Mảng động nhân đôi khi đầy. Vì sao nhiều cách cài đặt chỉ thu nhỏ nó khi đầy một phần tư, không phải một nửa?
AĐể giữ mảng được sắp xếp
BVì bộ cấp phát bộ nhớ chỉ có thể giải phóng bộ nhớ theo phần tư của một khối
CVì chia đôi ở một nửa sẽ làm mất phần tử
DĐể tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.
|V| = 5|E| = 5
1Chu trình Euler
2Đường đi Euler, không có chu trình
3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.
bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =
3Dung dịch
1.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: C · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
Vì sao đây là đáp án
Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.
Đáp số
C · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: C · Θ(n log n)
Vì sao đây là đáp án
log(n!) ≤ n log n, và n / 2 thừa số lớn nhất cho log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); đó là lý do sắp xếp dựa trên so sánh cần Ω(n log n).
Đáp số
C · Θ(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: A · 20
Vì sao đây là đáp án
20 nhỏ hơn 50 và nhỏ hơn 30, nên nó trở thành con trái của 30; 40 trở thành con phải của nó.
Đáp số
A · 20
4.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: D · Để tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
Vì sao đây là đáp án
Thu nhỏ ở một nửa có thể gây đổi kích thước ở mọi thao tác trong chuỗi như vậy; khoảng cách giữa 1/4 và đầy giữ chi phí khấu hao ở O(1).
Đáp số
D · Để tránh đổi kích thước liên tục khi push và pop xen kẽ gần ranh giới
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.
6.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: d(F) = 24
Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.
Dijkstra từng vòng
Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.