Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
2Bài tập
1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình
Công thức truy hồi T(n) = T(n − 1) + O(n) có nghiệm là gì?
AO(n)
BO(n log n)
CO(n²)
DO(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó
Thuật toán Bellman–Ford phát hiện chu trình trọng số âm có thể đến được từ nguồn bằng cách nào?
ANó chạy thuật toán Dijkstra hai lần và so sánh hai kết quả khoảng cách
BSau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
CNó đếm các chu trình bằng tìm kiếm theo chiều sâu
DNó kiểm tra xem có cạnh nào có trọng số âm không
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình
Một hàng đợi được cài đặt bằng hai ngăn xếp: đẩy vào ngăn xếp "vào", và lấy ra từ ngăn xếp "ra", nạp lại từ "vào" khi nó rỗng. Chi phí khấu hao mỗi thao tác là bao nhiêu?
AO(n²)
BO(n)
CO(log n)
DO(1)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó
Với băm đồng nhất đơn giản, thời gian kỳ vọng của một lần tìm kiếm trong bảng băm xâu chuỗi, với n khóa và m ngăn, là bao nhiêu?
AO(n)
BO(log n)
CO(m)
DO(1 + α), với α = n / m
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.
|V| = 7|E| = 7
1Chu trình Euler
2Đường đi Euler, không có chu trình
3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.
bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =
3Dung dịch
1.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: C · O(n²)
Vì sao đây là đáp án
Công việc cộng lại xấp xỉ n² / 2, đó là công thức truy hồi của sắp xếp chọn hoặc của quicksort với pivot tệ nhất.
Đáp số
C · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: B · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
Vì sao đây là đáp án
Mọi khoảng cách ngắn nhất thực sự được tìm thấy trong V − 1 vòng; nếu một cạnh vẫn có thể được cải thiện thì phải tồn tại chu trình âm.
Đáp số
B · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
3.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: D · O(1)
Vì sao đây là đáp án
Mỗi phần tử được đẩy và lấy ra tối đa hai lần tổng cộng, nên dù một lần nạp lại có thể tốn O(n), trung bình trên một chuỗi thao tác là O(1).
Đáp số
D · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: D · O(1 + α), với α = n / m
Vì sao đây là đáp án
Tính hàm băm tốn O(1) và độ dài chuỗi kỳ vọng là α, nên giữ α bị chặn bằng cách đổi kích thước cho thời gian kỳ vọng O(1).
Đáp số
D · O(1 + α), với α = n / m
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: không phải cả hai
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.
Dijkstra từng vòng
Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.