Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mới Quay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay: Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Đồ thị đều: |E| = n·k/2
Cây và rừng: |E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong K_n: (n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L: (Mᴸ)_ij

Phương pháp

Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?

AChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
BChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
CChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
DChọn hoạt động ngắn nhất trước

2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán quy hoạch động Held–Karp giải chính xác bài toán người bán hàng rong. Thời gian chạy của nó cho n thành phố là bao nhiêu?

AO(n² 2ⁿ)
BO(n³)
CO(2^n²)
DO(n!)

3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Danh sách kề dùng bao nhiêu bộ nhớ cho đồ thị có V đỉnh và E cạnh?

AO(V × E)
BO(V²)
CO(V + E)
DO(E²)

4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Một nút AVL mất cân bằng vì cây con phải của con trái nó trở nên quá cao (trường hợp trái-phải). Cách sửa nào được áp dụng?

AXoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút
BMột phép xoay phải đơn tại nút
CMột phép xoay trái đơn tại nút
DXoay phải tại con trái, rồi xoay trái tại nút

5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K₇ có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K₇

H =

6.Lý thuyết đồ thịKhó

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ E đến C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3

N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích

Vì sao đây là đáp án

Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.

Đáp số

A · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích

2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n² 2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Có khoảng n 2ⁿ trạng thái, mỗi trạng thái tính trong O(n); đây là hàm mũ nhưng nhanh hơn nhiều so với thử mọi hành trình (n − 1)!.

Đáp số

A · O(n² 2ⁿ)

3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(V + E)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi đỉnh có một danh sách và mỗi cạnh xuất hiện một lần (có hướng) hoặc hai lần (vô hướng), cho O(V + E).

Đáp số

C · O(V + E)

4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Xoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút

Vì sao đây là đáp án

Phép xoay đầu tiên chuyển trường hợp trái-phải thành trái-trái, rồi một phép xoay phải tại nút mất cân bằng sẽ sửa nó.

Đáp số

A · Xoay trái tại con trái, rồi xoay phải tại nút

5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 360

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; K_n có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Đáp số

H = 360

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 8

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. K_n có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 1

E: 0 1 1 1 0 1

F: 0 0 0 1 1 0

Thêm một bước

(M³)_EC = 2·1 + 2·1 + 1·0 + 2·0 + 4·1 + 1·0 = 8

Đáp số

N = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms