Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Tìm kiếm theo chiều rộng trên một đồ thị không trọng số tìm ra:

  1. AĐường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát
  2. BCây khung nhỏ nhất
  3. CĐường đi ngắn nhất trong đồ thị có chứa các cạnh với trọng số âm
  4. DThứ tự tô-pô trong mọi đồ thị
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán nào tìm cây khung nhỏ nhất bằng cách liên tục thêm cạnh rẻ nhất không tạo chu trình?

  1. AThuật toán Dijkstra
  2. BThuật toán Kruskal
  3. CFloyd–Warshall
  4. DThuật toán Prim bắt đầu từ một nút
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cấu trúc dữ liệu nào được tìm kiếm theo chiều sâu (phiên bản lặp) sử dụng?

  1. AChỉ bảng băm
  2. BNgăn xếp
  3. CHàng đợi
  4. DĐống
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây Fenwick (cây chỉ mục nhị phân) trên một mảng n số hỗ trợ những thao tác nào trong O(log n)?

  1. ASắp xếp mảng và tìm kiếm nhị phân
  2. BChèn phần tử vào vị trí bất kỳ
  3. CTruy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
  4. DTìm trung vị trong O(1)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
141232019161194ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Đường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát

Vì sao đây là đáp án

BFS thăm các nút theo thứ tự khoảng cách (số cạnh) từ nguồn, nên tìm được đường đi ngắn nhất không trọng số trong O(V + E).

Đáp số

A · Đường đi ngắn nhất tính theo số cạnh từ nút xuất phát
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Thuật toán Kruskal

Vì sao đây là đáp án

Kruskal sắp xếp các cạnh theo trọng số và thêm chúng nếu chúng nối các thành phần khác nhau; Prim phát triển một cây từ đỉnh xuất phát.

Đáp số

B · Thuật toán Kruskal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Ngăn xếp

Vì sao đây là đáp án

DFS khám phá sâu nhất có thể, tự nhiên dùng ngăn xếp (hoặc ngăn xếp lời gọi của đệ quy); BFS dùng hàng đợi.

Đáp số

B · Ngăn xếp
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử

Vì sao đây là đáp án

Cây Fenwick lưu các tổng từng phần trên các khoảng xác định bởi các bit thấp của mỗi chỉ số, nên cả tổng tiền tố lẫn cập nhật điểm đều tốn O(log n).

Đáp số

C · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Các đỉnh lẻ

A, B, C, E → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 55

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BC (3): lấy
GD (4): lấy
GB (9): lấy
EF (11): lấy
AC (12): lấy
AB (14): bỏ qua, tạo chu trình
DF (16): lấy

Tổng trọng số

W = 3 + 4 + 9 + 11 + 12 + 16 = 55

Đáp số

W = 55

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms