Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n − 1) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán người bán hàng rong được phân loại thế nào?

  1. APhiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
  2. BNó bất khả quyết định
  3. CNó thuộc P vì thuật toán Dijkstra giải được nó bằng cách thăm mỗi thành phố một lần
  4. DPhiên bản quyết định thuộc P nhưng phiên bản tối ưu hóa là NP-đầy đủ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một mạng lưới đường có 100,000 giao lộ, mỗi giao lộ nối với khoảng 4 giao lộ khác. Cách biểu diễn nào phù hợp nhất?

  1. AMột đống nhị phân các cạnh
  2. BMột mảng đỉnh đã sắp xếp đơn lẻ
  3. CDanh sách kề
  4. DMa trận kề
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Để bảng băm hoạt động đúng, băm và so sánh bằng phải tuân theo quy tắc nào?

  1. AGiá trị băm bằng nhau suy ra khóa bằng nhau
  2. BCác khóa khác nhau phải có giá trị băm khác nhau
  3. CGiá trị băm phải là số nguyên tố
  4. DCác khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 18 đỉnh và 19 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 18|E| = 19
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Số lời gọi nhân đôi theo mỗi tầng và có n tầng, nên tổng khoảng 2ⁿ, như trong bài Tháp Hà Nội.

Đáp số

D · O(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

"Có hành trình nào dài tối đa k không?" là NP-đầy đủ; tìm hành trình ngắn nhất là NP-khó, vì ít nhất cũng khó bằng.

Đáp số

A · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Danh sách kề

Vì sao đây là đáp án

Ma trận sẽ cần 1010 ô, gần như đều trống; danh sách kề chỉ lưu khoảng 400,000 mục cạnh.

Đáp số

C · Danh sách kề
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau

Vì sao đây là đáp án

Nếu hai khóa bằng nhau băm khác nhau, chúng sẽ được lưu ở các ngăn khác nhau và tra cứu sẽ thất bại; các khóa không bằng nhau vẫn có thể chung giá trị băm.

Đáp số

D · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 2

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

18 − 1 = 17

Các cạnh cần bỏ

k = 19 − 17 = 2

Đáp số

k = 2
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 3

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Đáp số

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms