Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Có đúng không khi nói một thuật toán O(n²) cũng là O(n³)?

  1. AKhông, vì n³ nhỏ hơn n² khi n lớn
  2. BĐúng, nhưng chỉ khi n nhỏ hơn 100
  3. CĐúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
  4. DKhông, vì Big O phải luôn cho tốc độ tăng chính xác của hàm
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Với biến thể bài toán cái túi nào thì quy tắc tham lam "lấy các món theo thứ tự giá trị trên cân nặng" luôn cho đáp án tối ưu?

  1. ACái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ
  2. BBài toán cái túi 0/1, trong đó các món luôn phải được lấy nguyên
  3. CKhông biến thể nào
  4. DCả hai biến thể
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Vì sao duyệt mảng thường nhanh hơn nhiều trong thực tế so với duyệt danh sách liên kết cùng độ dài?

  1. AMảng dùng ít lệnh hơn để so sánh giá trị
  2. BCác phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU
  3. CDuyệt mảng tổng cộng là O(1) còn duyệt danh sách liên kết là O(n)
  4. DDanh sách liên kết luôn lưu phần tử trên đĩa
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Làm thế nào phát hiện danh sách liên kết đơn có chu trình hay không bằng O(1) bộ nhớ thêm?

  1. ADi chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
  2. BLưu mọi nút đã thăm trong một tập băm
  3. CĐếm số nút cho đến khi số đếm vượt trường độ dài của danh sách
  4. DSắp xếp danh sách và tìm phần tử trùng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
514512127913ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³

Vì sao đây là đáp án

Big O là cận trên, nên phát biểu đúng nhưng không chặt; Θ(n²) nêu tốc độ tăng chính xác.

Đáp số

C · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Cái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ

Vì sao đây là đáp án

Khi các món có thể chia nhỏ, tỷ lệ tốt nhất trước là tối ưu; trong cái túi 0/1, một món có tỷ lệ cao có thể chặn một tổ hợp tốt hơn, nên cần quy hoạch động.

Đáp số

A · Cái túi phân số, trong đó các món có thể bị chia nhỏ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Các phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU

Vì sao đây là đáp án

Bộ nhớ liền kề cho tính cục bộ tham chiếu tốt, trong khi các nút liên kết có thể rải rác và gây nhiều lần trượt bộ nhớ đệm.

Đáp số

B · Các phần tử mảng liền kề, nên tận dụng tốt bộ nhớ đệm CPU
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không

Vì sao đây là đáp án

Trong thuật toán Floyd, nếu có chu trình thì con trỏ nhanh cuối cùng bắt kịp con trỏ chậm; nếu không con trỏ nhanh đến null.

Đáp số

A · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

C, D → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 17

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 5
B (5): C: 19, D: 10, E: 18
D (10): F: 17
F (17)
E (18)
C (19)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 17

Đáp số

d(F) = 17

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms