Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n − 1) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Đường đi đơn ngắn nhất có thể tìm trong thời gian đa thức. Điều gì được biết về việc tìm đường đi đơn dài nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị tổng quát?

  1. ANó bất khả quyết định
  2. BNó có thể giải bằng thuật toán Dijkstra với trọng số đổi dấu
  3. CNó là NP-khó
  4. DNó luôn giải được trong O(V + E)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trie (cây tiền tố) đặc biệt hiệu quả cho:

  1. ASắp xếp các số
  2. BLưu trữ ma trận
  3. CTìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành
  4. DTìm đường đi ngắn nhất
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây đoạn (segment tree) thường được dùng để:

  1. ASắp xếp chuỗi theo bảng chữ cái bằng cách lưu mỗi tiền tố trong một nút cây riêng
  2. BLưu các cạnh của đồ thị
  3. CTrả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
  4. DCài đặt ngăn xếp
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 6 đỉnh và 12 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 6|E| = 12
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
531011121210153ABCDEFG

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 6; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Số lời gọi nhân đôi theo mỗi tầng và có n tầng, nên tổng khoảng 2ⁿ, như trong bài Tháp Hà Nội.

Đáp số

A · O(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Nó là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

Một đường đi đơn dài nhất có độ dài V − 1 là một đường đi Hamilton, một bài toán NP-đầy đủ; tuy nhiên, trên đồ thị có hướng không chu trình, nó giải được trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

C · Nó là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Tìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành

Vì sao đây là đáp án

Trie lưu các chuỗi theo từng ký tự dọc đường đi, nên tra cứu và truy vấn tiền tố tốn thời gian tỷ lệ với độ dài khóa.

Đáp số

C · Tìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây đoạn lưu các giá trị tổng hợp cho các khoảng, hỗ trợ truy vấn khoảng và cập nhật điểm trong thời gian O(log n).

Đáp số

C · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 7

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

6 − 1 = 5

Các cạnh cần bỏ

k = 12 − 5 = 7

Đáp số

k = 7
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: D

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 5, C: 3
2. C (3): E: 14, G: 13
3. B (5): D: 15
4. G (13)
5. E (14): F: 26
6. D (15)
7. F (26)

vòng 6

D

Đáp số

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms