Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
2Bài tập
1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình
Độ phức tạp thời gian của việc tính số Fibonacci thứ n bằng bảng từ dưới lên là gì?
AO(n²)
BO(n)
CO(2ⁿ)
DO(log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó
Lấy cả hai đầu mút của mọi cạnh trong một cặp ghép cực đại cho ta một phủ đỉnh. Phủ này tốt đến mức nào?
ATối đa log n lần giá trị nhỏ nhất
BCó kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
CLuôn là một phủ đỉnh nhỏ nhất
DKhông rõ chất lượng so với tối ưu
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình
Các khóa 50, 30, 70, 20, 40 được chèn theo thứ tự này vào một cây tìm kiếm nhị phân rỗng. Con trái của 30 là gì?
A20
B50
C40
D70
4.Cấu trúc dữ liệuKhó
Các khóa 5, 3, 8, 1 được chèn theo thứ tự này vào đống min nhị phân dùng mảng rỗng. Mảng cuối cùng là gì?
A[1, 5, 8, 3]
B[1, 3, 5, 8]
C[3, 1, 8, 5]
D[1, 3, 8, 5]
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.
|V| = 7|E| = 8
1Chu trình Euler
2Đường đi Euler, không có chu trình
3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ D đến E? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.
M = ma trận kềL = 2
N =
3Dung dịch
1.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: B · O(n)
Vì sao đây là đáp án
Điền bảng từ 0 đến n mất một phép cộng mỗi ô, nên công việc là tuyến tính thay vì hàm mũ.
Đáp số
B · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: B · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
Vì sao đây là đáp án
Các cạnh của cặp ghép không có đỉnh chung, nên phương án tối ưu cần ít nhất một đỉnh cho mỗi cạnh, trong khi phương pháp này lấy hai: một xấp xỉ hệ số 2.
Đáp số
B · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
3.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: A · 20
Vì sao đây là đáp án
20 nhỏ hơn 50 và nhỏ hơn 30, nên nó trở thành con trái của 30; 40 trở thành con phải của nó.
Đáp số
A · 20
4.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: D · [1, 3, 8, 5]
Vì sao đây là đáp án
Sau 5, 3, 8 mảng là [3, 5, 8]; 1 vào chỉ số 3, hoán đổi với cha 5 rồi với 3, cho [1, 3, 8, 5].
Đáp số
D · [1, 3, 8, 5]
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.
6.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: N = 1
Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.