Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc nhân hai ma trận n × n bằng ba vòng lặp lồng nhau chuẩn là gì?

  1. AO(n² log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán người bán hàng rong được phân loại thế nào?

  1. ANó bất khả quyết định
  2. BPhiên bản quyết định thuộc P nhưng phiên bản tối ưu hóa là NP-đầy đủ
  3. CNó thuộc P vì thuật toán Dijkstra giải được nó bằng cách thăm mỗi thành phố một lần
  4. DPhiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc tìm một khóa trong cây tìm kiếm nhị phân cân bằng là bao nhiêu?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây cơ số (radix tree, trie nén) cải thiện trie thông thường như thế nào?

  1. ANó sắp các con của mỗi nút theo tần suất
  2. BNó chỉ giữ chữ cái đầu của mỗi từ
  3. CNó lưu mỗi từ trong một bảng băm ở gốc thay vì trong các nút riêng
  4. DNó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 3, 4 đỉnh bậc 4, 4 đỉnh bậc 5, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 34 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi độ dài 2 từ D đến A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n³)

Vì sao đây là đáp án

Có n² phần tử và mỗi phần tử cần n phép nhân, cho n³ phép toán.

Đáp số

C · O(n³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

"Có hành trình nào dài tối đa k không?" là NP-đầy đủ; tìm hành trình ngắn nhất là NP-khó, vì ít nhất cũng khó bằng.

Đáp số

D · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây cân bằng có chiều cao khoảng log₂ n, nên một lần tìm kiếm đi theo một đường từ gốc đến lá.

Đáp số

D · O(log n)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Nó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu

Vì sao đây là đáp án

Thu gọn các đường không phân nhánh làm giảm số nút và bộ nhớ dùng trong khi vẫn giữ được tìm kiếm tiền tố.

Đáp số

D · Nó gộp các chuỗi nút một con thành một cạnh được gắn nhãn bằng một xâu
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 24

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 48 = 2(L + 13) − 2
L = 24

Đáp số

L = 24

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)DA = 0·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms