Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = T(n/2) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao thuật toán Dijkstra có thể cho kết quả sai khi một số trọng số cạnh âm?

  1. ANó rơi vào vòng lặp vô hạn ở mọi cạnh âm
  2. BSố âm không thể lưu trong hàng đợi ưu tiên
  3. CMột đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn
  4. DNó chỉ hoạt động trên đồ thị vô hướng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Điều gì xảy ra khi bảng băm băm lại (rehash) sau khi hệ số tải vượt ngưỡng?

  1. AChỉ các khóa va chạm được chuyển sang một danh sách tràn mới ở cuối bảng
  2. BMột bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại
  3. CCác khóa hiện có được sắp xếp tại chỗ
  4. DCác khóa cũ nhất bị xóa để lấy chỗ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Các khóa 5, 3, 8, 1 được chèn theo thứ tự này vào đống min nhị phân dùng mảng rỗng. Mảng cuối cùng là gì?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[1, 3, 5, 8]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[3, 1, 8, 5]
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 15 đỉnh và 15 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 15|E| = 15
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
4111485715ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Bài toán giảm một nửa ở mỗi bước với công việc hằng số mỗi bước, nên có khoảng log₂ n bước.

Đáp số

C · O(log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Một đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn

Vì sao đây là đáp án

Bước tham lam dựa vào trọng số không âm để các khoảng cách đã lấy ra là cuối cùng; Bellman–Ford được dùng khi trọng số có thể âm.

Đáp số

C · Một đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Một bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại

Vì sao đây là đáp án

Vì chỉ số được tính theo modulo kích thước bảng, mọi khóa phải được băm lại vào bảng mới lớn hơn; với việc nhân đôi, chi phí khấu hao vẫn là O(1).

Đáp số

B · Một bảng lớn hơn được cấp phát và mọi khóa được chèn lại
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · [1, 3, 8, 5]

Vì sao đây là đáp án

Sau 5, 3, 8 mảng là [3, 5, 8]; 1 vào chỉ số 3, hoán đổi với cha 5 rồi với 3, cho [1, 3, 8, 5].

Đáp số

C · [1, 3, 8, 5]
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 1

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

15 − 1 = 14

Các cạnh cần bỏ

k = 15 − 14 = 1

Đáp số

k = 1
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 16

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 4
B (4): C: 5, D: 15, E: 19
C (5): E: 9
E (9): F: 16
D (15)
F (16)

Đường đi ngắn nhất

A → B → C → E → F
d(F) = 16

Đáp số

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms