Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
2Bài tập
1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình
Bạn sắp xếp một mảng n phần tử một lần rồi trả lời k truy vấn thuộc về bằng tìm kiếm nhị phân. Tổng chi phí là bao nhiêu?
AO(n log n + k log n)
BO(n + k)
CO(k n log n)
DO(nk)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó
Vì sao mọi tìm kiếm dựa trên so sánh trong một mảng đã sắp xếp cần Ω(log n) phép so sánh trong trường hợp xấu nhất?
ATìm kiếm nhị phân là thuật toán khả dĩ duy nhất, và nó cần log₂ n phép so sánh
BMỗi phép so sánh mất thời gian logarit
CMột cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
DMọi phần tử phải được so sánh ít nhất một lần
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình
Kiểm tra cạnh (u, v) có tồn tại hay không bằng ma trận kề mất bao lâu?
AO(log V)
BO(V)
CO(E)
DO(1)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó
Trong BST có gốc 50, cây con trái 30 (các con 20, 40) và cây con phải 70 (các con 60, 80), gốc bị xóa bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa. Khóa nào trở thành gốc mới?
A80
B60
C70
D40
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.
|V| = 7|E| = 9
1Chu trình Euler
2Đường đi Euler, không có chu trình
3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.
bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =
3Dung dịch
1.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: A · O(n log n + k log n)
Vì sao đây là đáp án
Sắp xếp tốn O(n log n) và mỗi truy vấn O(log n); cách này thắng k lần quét tuyến tính (O(nk)) khi k lớn.
Đáp số
A · O(n log n + k log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: C · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
Vì sao đây là đáp án
Mỗi phép so sánh nhiều nhất làm giảm một nửa tập các khả năng còn lại, nên để phân biệt n vị trí cần ít nhất log₂ n phép so sánh.
Đáp số
C · Một cây quyết định với n kết quả có thể phải có độ sâu ít nhất log₂ n
3.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: D · O(1)
Vì sao đây là đáp án
Phần tử ma trận ở hàng u, cột v cho biết ngay cạnh có tồn tại hay không; danh sách kề có thể phải quét các láng giềng của u.
Đáp số
D · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: B · 60
Vì sao đây là đáp án
Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải là 60, nên 60 thay 50 và vị trí cũ của nó bị xóa; dùng nút liền trước sẽ cho 40.
Đáp số
B · 60
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: không phải cả hai
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.
Dijkstra từng vòng
Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.