Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một bài toán có cấu trúc con tối ưu nghĩa là gì?

  1. ABài toán có thể giải trong thời gian hằng số
  2. BMọi bài toán con đều có cùng kích thước
  3. CMột lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con
  4. DBài toán có đúng một lời giải tối ưu, và mọi bài toán con đều dùng chung lời giải đó
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

n! và 2ⁿ so sánh với nhau thế nào khi n lớn?

  1. A2ⁿ tăng nhanh hơn n!
  2. Bn! tăng nhanh hơn 2ⁿ
  3. Cn! là O(n²)
  4. DChúng tăng với cùng tốc độ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một hàng đợi được cài đặt bằng hai ngăn xếp: đẩy vào ngăn xếp "vào", và lấy ra từ ngăn xếp "ra", nạp lại từ "vào" khi nó rỗng. Chi phí khấu hao mỗi thao tác là bao nhiêu?

  1. AO(1)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong BST có gốc 50, cây con trái 30 (các con 20, 40) và cây con phải 70 (các con 60, 80), gốc bị xóa bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa. Khóa nào trở thành gốc mới?

  1. A80
  2. B60
  3. C70
  4. D40
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 18 đỉnh và 29 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 18|E| = 29
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
2846615145ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Một lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con

Vì sao đây là đáp án

Cấu trúc con tối ưu là điều kiện cần để cả thuật toán tham lam lẫn quy hoạch động cho đáp án đúng.

Đáp số

C · Một lời giải tối ưu có thể được xây dựng từ các lời giải tối ưu của các bài toán con
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · n! tăng nhanh hơn 2ⁿ

Vì sao đây là đáp án

Với n ≥ 4, n! vượt 2ⁿ, và tỷ số tăng không giới hạn vì mỗi thừa số thêm của n! lớn hơn 2.

Đáp số

B · n! tăng nhanh hơn 2ⁿ
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi phần tử được đẩy và lấy ra tối đa hai lần tổng cộng, nên dù một lần nạp lại có thể tốn O(n), trung bình trên một chuỗi thao tác là O(1).

Đáp số

A · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · 60

Vì sao đây là đáp án

Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải là 60, nên 60 thay 50 và vị trí cũ của nó bị xóa; dùng nút liền trước sẽ cho 40.

Đáp số

B · 60
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 12

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

18 − 1 = 17

Các cạnh cần bỏ

k = 29 − 17 = 12

Đáp số

k = 12
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: B

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): C: 2
2. C (2): B: 10, E: 8
3. E (8): D: 14, F: 22
4. B (10)
5. D (14)
6. F (22)

vòng 4

B

Đáp số

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms