Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Floyd–Warshall tính gì, và nhanh đến mức nào?

  1. AMột thứ tự tô-pô trong O(V²)
  2. BMột cây khung nhỏ nhất trong O(E log V)
  3. CĐường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn đến mọi đỉnh khác trong O(V + E)
  4. DĐường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Định nghĩa nào của lớp P là đúng?

  1. ACác bài toán cần thời gian hàm mũ trên mọi máy tính
  2. BCác bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức
  3. CCác bài toán có lời giải kiểm tra được nhưng không bao giờ tìm được trong thời gian đa thức
  4. DCác bài toán có thể giải song song
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một ứng dụng cần tra cứu nhanh, đồng thời cần liệt kê khóa theo thứ tự đã sắp và trả lời các truy vấn khoảng. Cấu trúc nào phù hợp nhất?

  1. ACây tìm kiếm nhị phân cân bằng
  2. BDanh sách liên kết không sắp xếp
  3. CNgăn xếp
  4. DBảng băm
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Xóa một nút có hai con khỏi cây tìm kiếm nhị phân thường được thực hiện bằng cách:

  1. AXây lại từ đầu cây con bên dưới nó và chèn lại mọi khóa mà nó chứa
  2. BHoán đổi nó với gốc
  3. CXóa cả cây con
  4. DThay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 3, 2 đỉnh bậc 5, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 32 × deg 53 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1074758273615ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)

Vì sao đây là đáp án

Floyd–Warshall là thuật toán quy hoạch động cho phép lần lượt từng đỉnh làm điểm trung gian, dùng thời gian O(V³).

Đáp số

D · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Các bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

P gồm các bài toán quyết định có thuật toán tất định thời gian đa thức, như kiểm tra một đồ thị có liên thông hay không.

Đáp số

B · Các bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Cây tìm kiếm nhị phân cân bằng

Vì sao đây là đáp án

BST cân bằng cho tra cứu O(log n) và giữ khóa có thứ tự, nên duyệt thứ tự giữa và truy vấn khoảng dễ dàng; bảng băm rải khóa ngẫu nhiên.

Đáp số

A · Cây tìm kiếm nhị phân cân bằng
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó

Vì sao đây là đáp án

Nút kế tiếp theo thứ tự giữa có tối đa một con, nên có thể xóa dễ dàng sau khi sao chép khóa của nó vào nút bị xóa.

Đáp số

D · Thay nó bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa (hoặc nút liền trước) rồi xóa nút đó
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 10

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 22 = 2(L + 7) − 2
L = 10

Đáp số

L = 10

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 19

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 10, C: 7
C (7): E: 12
B (10): D: 17, G: 13
E (12): F: 19
G (13)
D (17)
F (19)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → F
d(F) = 19

Đáp số

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms