Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của Fibonacci đệ quy ngây thơ (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) là:

  1. AHàm mũ
  2. BHằng số
  3. CLogarit
  4. DTuyến tính
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phải chứng minh hai điều nào để chứng tỏ một bài toán quyết định X là NP-đầy đủ?

  1. AX không có thuật toán đa thức, và X quyết định được
  2. BX thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
  3. CX thuộc P, và X quy dẫn về SAT
  4. DX quy dẫn về một bài toán trong P, và X thuộc NP
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Các khóa 50, 30, 70, 20, 40 được chèn theo thứ tự này vào một cây tìm kiếm nhị phân rỗng. Con trái của 30 là gì?

  1. A50
  2. B20
  3. C40
  4. D70
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây đoạn (segment tree) thường được dùng để:

  1. ACài đặt ngăn xếp
  2. BLưu các cạnh của đồ thị
  3. CTrả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
  4. DSắp xếp chuỗi theo bảng chữ cái bằng cách lưu mỗi tiền tố trong một nút cây riêng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 18 đỉnh và 25 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 18|E| = 25
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
18961025191ABCDEF

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 3; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 3
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh CE
  5. 5cạnh DE
  6. 6cạnh DF
  7. 7cạnh EF
  8. 8cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Hàm mũ

Vì sao đây là đáp án

Cây lời gọi tăng xấp xỉ φⁿ (khoảng 1,618ⁿ). Ghi nhớ giảm nó xuống O(n).

Đáp số

A · Hàm mũ
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Việc thuộc NP cho thấy X không khó hơn NP; phép quy dẫn từ một bài toán NP-đầy đủ đã biết cho thấy X khó ít nhất bằng toàn bộ NP.

Đáp số

B · X thuộc NP, và một bài toán NP-đầy đủ đã biết quy dẫn về X trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · 20

Vì sao đây là đáp án

20 nhỏ hơn 50 và nhỏ hơn 30, nên nó trở thành con trái của 30; 40 trở thành con phải của nó.

Đáp số

B · 20
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Cây đoạn lưu các giá trị tổng hợp cho các khoảng, hỗ trợ truy vấn khoảng và cập nhật điểm trong thời gian O(log n).

Đáp số

C · Trả lời các truy vấn khoảng (như tổng khoảng) và cập nhật trong O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 8

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

18 − 1 = 17

Các cạnh cần bỏ

k = 25 − 17 = 8

Đáp số

k = 8
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh DF

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. BE (1)
2. DE (2)
3. DF (5)
4. BC (6)
5. AC (9)

cạnh số 3

DF

Đáp số

cạnh DF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms