Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một hàm giai thừa đệ quy đơn giản fact(n) = n × fact(n − 1) dùng bao nhiêu không gian ngăn xếp?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tìm kiếm nhị phân không cho thời gian O(log n) trên một danh sách liên kết đơn?

  1. AĐến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
  2. BDanh sách liên kết không thể được sắp xếp
  3. CCác phép so sánh trên nút danh sách liên kết chậm hơn
  4. DTìm kiếm nhị phân cần ít nhất gấp đôi bộ nhớ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Bộ đệm vòng (circular buffer, ring buffer) thường được dùng để cài đặt:

  1. APhép duyệt đồ thị
  2. BHàm băm
  3. CHàng đợi kích thước cố định
  4. DCây tìm kiếm nhị phân
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tìm một khóa tùy ý trong đống min nhị phân n phần tử mất bao lâu?

  1. AO(log log n)
  2. BO(1)
  3. CO(log n)
  4. DO(n)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 3, 4 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 34 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi độ dài 3 từ A đến F? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Đệ quy sâu n lời gọi trước khi có lời gọi nào trả về, và mỗi lời gọi cần một khung ngăn xếp, nên nó dùng không gian O(n).

Đáp số

A · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp

Vì sao đây là đáp án

Tìm kiếm nhị phân cần truy cập O(1) vào phần tử giữa; trên danh sách liên kết, đi đến đó tốn thời gian tuyến tính, nên tổng là O(n).

Đáp số

A · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Hàng đợi kích thước cố định

Vì sao đây là đáp án

Bộ đệm vòng dùng chỉ số đầu và đuôi quay vòng, cho phép enqueue và dequeue O(1) trong bộ nhớ cố định.

Đáp số

C · Hàng đợi kích thước cố định
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Đống không có quy tắc nào cho biết cây con nào chứa một khóa, nên trong trường hợp xấu nhất phải kiểm tra mọi nút; chỉ giá trị nhỏ nhất là tìm nhanh.

Đáp số

D · O(n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 4

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 14 = 2(L + 6) − 2
L = 4

Đáp số

L = 4

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 1

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Thêm một bước

(M³)AF = 2·0 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 2·0 + 0·0 = 1

Đáp số

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms