Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Có đúng không khi nói một thuật toán O(n²) cũng là O(n³)?

  1. AKhông, vì n³ nhỏ hơn n² khi n lớn
  2. BĐúng, nhưng chỉ khi n nhỏ hơn 100
  3. CKhông, vì Big O phải luôn cho tốc độ tăng chính xác của hàm
  4. DĐúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Định nghĩa nào của lớp P là đúng?

  1. ACác bài toán có thể giải song song
  2. BCác bài toán cần thời gian hàm mũ trên mọi máy tính
  3. CCác bài toán có lời giải kiểm tra được nhưng không bao giờ tìm được trong thời gian đa thức
  4. DCác bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Mục đích của nút lính canh (sentinel, nút giả) trong danh sách liên kết là gì?

  1. ALàm cho danh sách được sắp xếp
  2. BLưu số phần tử
  3. CNgăn danh sách phát triển vượt quá một số nút tối đa cố định
  4. DĐơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Một đối tượng được lưu làm khóa trong bản đồ băm, rồi một trường được hàm băm của nó sử dụng bị thay đổi. Kết quả có khả năng nhất là gì?

  1. AKhông có gì thay đổi, vì giá trị băm của khóa chỉ được tính một lần khi chương trình khởi động
  2. BBản đồ ném lỗi ngay lúc trường thay đổi
  3. CBản đồ tự động chuyển khóa sang ngăn mới
  4. DTra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 5, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 53 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³

Vì sao đây là đáp án

Big O là cận trên, nên phát biểu đúng nhưng không chặt; Θ(n²) nêu tốc độ tăng chính xác.

Đáp số

D · Đúng, vì Big O là cận trên và n² tăng không nhanh hơn n³
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Các bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

P gồm các bài toán quyết định có thuật toán tất định thời gian đa thức, như kiểm tra một đồ thị có liên thông hay không.

Đáp số

D · Các bài toán quyết định giải được bằng thuật toán tất định trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối

Vì sao đây là đáp án

Với nút lính canh, mọi nút thật đều có nút đứng trước, nên chèn hoặc xóa ở đầu không cần xử lý đặc biệt.

Đáp số

D · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Tra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ

Vì sao đây là đáp án

Vị trí của khóa được chọn từ giá trị băm cũ; với giá trị băm mới, các lần tra cứu tìm sai ngăn, nên khóa phải bất biến.

Đáp số

D · Tra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 14

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

Đáp số

L = 14

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Thêm một bước

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 2·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms