Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán quy hoạch động chuẩn cho dãy con chung dài nhất của các chuỗi có độ dài m và n là gì?

  1. AO(m + n)
  2. BO(2m+n)
  3. CO(mn)
  4. DO(mn log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán Strassen nhân ma trận bằng 7 thay vì 8 phép nhân đệ quy các khối nửa kích thước. Thời gian chạy của nó là bao nhiêu?

  1. AΘ(nlog₂ 7), khoảng n2,81
  2. BΘ(n² log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n2)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Làm thế nào để tìm khóa nhỏ nhất trong cây tìm kiếm nhị phân?

  1. AChỉ nhìn vào gốc
  2. BĐi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái
  3. CThăm mọi lá và so sánh chúng
  4. DĐi theo các con phải từ gốc cho đến khi không còn con phải
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây Fenwick (cây chỉ mục nhị phân) trên một mảng n số hỗ trợ những thao tác nào trong O(log n)?

  1. ATìm trung vị trong O(1)
  2. BTruy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
  3. CSắp xếp mảng và tìm kiếm nhị phân
  4. DChèn phần tử vào vị trí bất kỳ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 10 đỉnh và 10 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 10|E| = 10
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1918106132011ABCDE

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(mn)

Vì sao đây là đáp án

Bảng có (m + 1)(n + 1) ô và mỗi ô được tính trong O(1) từ các ô lân cận.

Đáp số

C · O(mn)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Θ(nlog₂ 7), khoảng n2,81

Vì sao đây là đáp án

Với a = 7 và b = 2, nlog₂ 7 chiếm ưu thế so với công việc cộng O(n²), cho khoảng n2,81.

Đáp số

A · Θ(nlog₂ 7), khoảng n2,81
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Đi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái

Vì sao đây là đáp án

Nút ngoài cùng bên trái không có khóa nhỏ hơn trong cây, nên nó là giá trị nhỏ nhất; chi phí tỷ lệ với chiều cao.

Đáp số

B · Đi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử

Vì sao đây là đáp án

Cây Fenwick lưu các tổng từng phần trên các khoảng xác định bởi các bit thấp của mỗi chỉ số, nên cả tổng tiền tố lẫn cập nhật điểm đều tốn O(log n).

Đáp số

B · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 1

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

10 − 1 = 9

Các cạnh cần bỏ

k = 10 − 9 = 1

Đáp số

k = 1
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 45

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BD (6): lấy
BC (10): lấy
BE (11): lấy
CE (13): bỏ qua, tạo chu trình
AC (18): lấy

Tổng trọng số

W = 6 + 10 + 11 + 18 = 45

Đáp số

W = 45

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms