Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?

  1. AChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  2. BChọn hoạt động ngắn nhất trước
  3. CChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  4. DChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp tô-pô chỉ khả thi đối với:

  1. AĐồ thị đầy đủ
  2. BĐồ thị có hướng không chu trình
  3. CĐồ thị có trọng số âm
  4. DĐồ thị vô hướng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Mục đích của nút lính canh (sentinel, nút giả) trong danh sách liên kết là gì?

  1. AĐơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
  2. BLưu số phần tử
  3. CNgăn danh sách phát triển vượt quá một số nút tối đa cố định
  4. DLàm cho danh sách được sắp xếp
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cây Fenwick (cây chỉ mục nhị phân) trên một mảng n số hỗ trợ những thao tác nào trong O(log n)?

  1. ATruy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
  2. BChèn phần tử vào vị trí bất kỳ
  3. CSắp xếp mảng và tìm kiếm nhị phân
  4. DTìm trung vị trong O(1)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 3, 2 đỉnh bậc 4, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 32 × deg 4
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
17159147213ABCDE

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích

Vì sao đây là đáp án

Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.

Đáp số

C · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Đồ thị có hướng không chu trình

Vì sao đây là đáp án

Thứ tự tô-pô tồn tại khi và chỉ khi đồ thị có hướng không có chu trình; nó tìm được trong O(V + E) bằng DFS hoặc thuật toán Kahn.

Đáp số

B · Đồ thị có hướng không chu trình
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối

Vì sao đây là đáp án

Với nút lính canh, mọi nút thật đều có nút đứng trước, nên chèn hoặc xóa ở đầu không cần xử lý đặc biệt.

Đáp số

A · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử

Vì sao đây là đáp án

Cây Fenwick lưu các tổng từng phần trên các khoảng xác định bởi các bit thấp của mỗi chỉ số, nên cả tổng tiền tố lẫn cập nhật điểm đều tốn O(log n).

Đáp số

A · Truy vấn tổng tiền tố và cập nhật một phần tử
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 9

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 17 = 2(L + 5) − 2
L = 9

Đáp số

L = 9

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 33

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

DE (2): lấy
CE (7): lấy
BC (9): lấy
BE (13): bỏ qua, tạo chu trình
BD (14): bỏ qua, tạo chu trình
AC (15): lấy

Tổng trọng số

W = 2 + 7 + 9 + 15 = 33

Đáp số

W = 33

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms