Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quicksort luôn dùng phần tử đầu tiên làm pivot. Trên đầu vào nào nó thể hiện hành vi xấu nhất?

  1. AMột mảng mà các phần tử đều khác nhau
  2. BMột mảng có độ dài 2
  3. CMột mảng có thứ tự ngẫu nhiên
  4. DMột mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp chèn chạy trong O(n) trên đầu vào đã sắp xếp. Điều này có mâu thuẫn với cận dưới Ω(n log n) cho sắp xếp dựa trên so sánh không?

  1. AKhông, vì sắp xếp chèn không phải là sắp xếp dựa trên so sánh
  2. BCó, nhưng chỉ với mảng ngắn hơn 100
  3. CKhông, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
  4. DCó, nên cận dưới là sai
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Ma trận kề của một đồ thị có V đỉnh dùng bao nhiêu bộ nhớ?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V²)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong bảng băm dùng địa chỉ mở, vì sao việc xóa thường được thực hiện bằng dấu "tombstone"?

  1. ALàm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác
  2. BNó làm bảng được sắp xếp
  3. CTombstone làm băm nhanh hơn
  4. DCác khóa đã xóa phải được giữ mãi vì lý do bảo mật, nên các ô không bao giờ được tái sử dụng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
13111111148613ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(D) của đường đi ngắn nhất từ A đến D trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: D
d(D) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Một mảng đã được sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Trên đầu vào đã sắp xếp, pivot luôn là giá trị nhỏ nhất, nên một bên rỗng và bên kia có n − 1 phần tử, cho O(n²).

Đáp số

D · Một mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào

Vì sao đây là đáp án

Cận này nói rằng mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần khoảng n log n phép so sánh trên một đầu vào nào đó kích thước n; các đầu vào đặc biệt có thể nhanh hơn nhiều.

Đáp số

C · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Ma trận kề lưu V × V phần tử, hiệu quả với đồ thị dày; danh sách kề dùng O(V + E), tốt hơn cho đồ thị thưa.

Đáp số

B · O(V²)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Làm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác

Vì sao đây là đáp án

Nếu ô đã xóa trở thành trống, các lần tìm sau có thể dừng sớm và bỏ sót những khóa được đặt xa hơn trên chuỗi dò.

Đáp số

A · Làm trống ô có thể phá vỡ chuỗi dò của các khóa khác
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Các đỉnh lẻ

A, E → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(D) = 24

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 13, C: 11
C (11)
B (13): D: 24, E: 26
D (24): F: 32
E (26)
F (32)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D
d(D) = 24

Đáp số

d(D) = 24

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms