Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Floyd–Warshall tính gì, và nhanh đến mức nào?

  1. AMột thứ tự tô-pô trong O(V²)
  2. BĐường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn đến mọi đỉnh khác trong O(V + E)
  3. CMột cây khung nhỏ nhất trong O(E log V)
  4. DĐường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán quy hoạch động Held–Karp giải chính xác bài toán người bán hàng rong. Thời gian chạy của nó cho n thành phố là bao nhiêu?

  1. AO(2n²)
  2. BO(n!)
  3. CO(n³)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Bạn có một tham chiếu đến một nút ở giữa danh sách. Trong danh sách nào bạn có thể xóa nó trong O(1)?

  1. AMảng động
  2. BMảng đã sắp xếp
  3. CDanh sách liên kết đơn
  4. DDanh sách liên kết đôi
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc nào cho phép tính giá trị lớn nhất của mọi cửa sổ kích thước k trong mảng với tổng thời gian O(n)?

  1. AMột mảng đã sắp xếp được cập nhật bằng dịch chuyển
  2. BMột đống min được xây lại cho mỗi cửa sổ
  3. CMột deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần
  4. DMột danh sách liên kết đơn gồm các phần tử của cửa sổ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
65384129126ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(G) của đường đi ngắn nhất từ A đến G trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: G
d(G) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)

Vì sao đây là đáp án

Floyd–Warshall là thuật toán quy hoạch động cho phép lần lượt từng đỉnh làm điểm trung gian, dùng thời gian O(V³).

Đáp số

D · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n² 2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Có khoảng n 2ⁿ trạng thái, mỗi trạng thái tính trong O(n); đây là hàm mũ nhưng nhanh hơn nhiều so với thử mọi hành trình (n − 1)!.

Đáp số

D · O(n² 2ⁿ)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Danh sách liên kết đôi

Vì sao đây là đáp án

Nút của danh sách liên kết đôi biết nút đứng trước nó, nên bạn có thể nối lại prev và next trực tiếp; danh sách liên kết đơn phải tìm nút đứng trước.

Đáp số

D · Danh sách liên kết đôi
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Một deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần

Vì sao đây là đáp án

Phần đầu của deque luôn là giá trị lớn nhất của cửa sổ; mỗi chỉ số vào và rời deque một lần, nên công việc là tuyến tính.

Đáp số

C · Một deque giữ các chỉ số theo thứ tự giá trị giảm dần
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Các đỉnh lẻ

A, F → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(G) = 15

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 6
B (6): C: 11, G: 15
C (11): E: 14
E (14): D: 22, F: 26
G (15)
D (22)
F (26)

Đường đi ngắn nhất

A → B → G
d(G) = 15

Đáp số

d(G) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms