Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n − 1) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Điều gì sẽ xảy ra nếu ai đó tìm được thuật toán thời gian đa thức cho một bài toán NP-đầy đủ?

  1. AMọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP
  2. BChỉ bài toán đó chuyển vào P
  3. CBài toán dừng trở nên quyết định được
  4. DMọi thuật toán thời gian hàm mũ sẽ lập tức chạy trong thời gian tuyến tính
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong bảng băm dùng địa chỉ mở, hệ số tải tối đa có thể là bao nhiêu?

  1. A0,5
  2. B2
  3. C1
  4. DKhông có mức tối đa
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Làm thế nào phát hiện danh sách liên kết đơn có chu trình hay không bằng O(1) bộ nhớ thêm?

  1. AĐếm số nút cho đến khi số đếm vượt trường độ dài của danh sách
  2. BSắp xếp danh sách và tìm phần tử trùng
  3. CDi chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
  4. DLưu mọi nút đã thăm trong một tập băm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 3 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
13181613715191412ABCDEFG

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh A. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4.

bắt đầu: Ak = 4
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh DF
  8. 8cạnh GC
  9. 9cạnh GD
  10. 10cạnh GE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Số lời gọi nhân đôi theo mỗi tầng và có n tầng, nên tổng khoảng 2ⁿ, như trong bài Tháp Hà Nội.

Đáp số

A · O(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Mọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP

Vì sao đây là đáp án

Vì toàn bộ NP quy dẫn về bất kỳ bài toán NP-đầy đủ nào trong thời gian đa thức, một thuật toán nhanh cho một bài sẽ cho thuật toán nhanh cho tất cả.

Đáp số

A · Mọi bài toán trong NP đều giải được trong thời gian đa thức, nên P = NP
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · 1

Vì sao đây là đáp án

Với địa chỉ mở, mọi khóa được lưu ngay trong bảng, nên n không thể vượt m; xâu chuỗi riêng có thể có hệ số tải trên 1.

Đáp số

C · 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không

Vì sao đây là đáp án

Trong thuật toán Floyd, nếu có chu trình thì con trỏ nhanh cuối cùng bắt kịp con trỏ chậm; nếu không con trỏ nhanh đến null.

Đáp số

C · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 21

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 39 = 2(L + 10) − 2
L = 21

Đáp số

L = 21

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh DE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. AB (1)
2. AC (3)
3. CE (13)
4. DE (7)
5. GE (12)
6. DF (15)

cạnh số 4

DE

Đáp số

cạnh DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms