Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = 2T(n − 1) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Lấy cả hai đầu mút của mọi cạnh trong một cặp ghép cực đại cho ta một phủ đỉnh. Phủ này tốt đến mức nào?

  1. ACó kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
  2. BLuôn là một phủ đỉnh nhỏ nhất
  3. CTối đa log n lần giá trị nhỏ nhất
  4. DKhông rõ chất lượng so với tối ưu
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Làm thế nào để tìm khóa nhỏ nhất trong cây tìm kiếm nhị phân?

  1. AĐi theo các con phải từ gốc cho đến khi không còn con phải
  2. BThăm mọi lá và so sánh chúng
  3. CChỉ nhìn vào gốc
  4. DĐi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Phát biểu nào về heapsort là đúng?

  1. ANó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
  2. BNó chạy trong thời gian O(n) với mọi đầu vào
  3. CNó ổn định và cần O(n) bộ nhớ thêm
  4. DNó cần một cây tìm kiếm nhị phân làm bộ nhớ phụ, nên dùng thêm O(n) bộ nhớ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 8 đỉnh và 17 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 8|E| = 17
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 2 bắt đầu và kết thúc tại B? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 2
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Số lời gọi nhân đôi theo mỗi tầng và có n tầng, nên tổng khoảng 2ⁿ, như trong bài Tháp Hà Nội.

Đáp số

C · O(2ⁿ)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất

Vì sao đây là đáp án

Các cạnh của cặp ghép không có đỉnh chung, nên phương án tối ưu cần ít nhất một đỉnh cho mỗi cạnh, trong khi phương pháp này lấy hai: một xấp xỉ hệ số 2.

Đáp số

A · Có kích thước tối đa gấp đôi phủ đỉnh nhỏ nhất
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Đi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái

Vì sao đây là đáp án

Nút ngoài cùng bên trái không có khóa nhỏ hơn trong cây, nên nó là giá trị nhỏ nhất; chi phí tỷ lệ với chiều cao.

Đáp số

D · Đi theo các con trái từ gốc cho đến khi không còn con trái
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định

Vì sao đây là đáp án

Heapsort xây một đống max và lấy giá trị lớn nhất n lần ngay trong cùng mảng; các hoán đổi ở khoảng cách xa có thể làm đổi thứ tự các khóa bằng nhau.

Đáp số

A · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 10

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

8 − 1 = 7

Các cạnh cần bỏ

k = 17 − 7 = 10

Đáp số

k = 10
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 3

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Các đỉnh kề chung

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

Đáp số

N = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms