Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán nào tìm đường đi ngắn nhất từ một nguồn trong đồ thị có trọng số cạnh không âm?

  1. ABắt buộc phải dùng Bellman–Ford trong mọi trường hợp
  2. BThuật toán Kruskal
  3. CThuật toán Dijkstra
  4. DTìm kiếm theo chiều sâu
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Một bài toán là NP-đầy đủ nếu nó:

  1. AThuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức
  2. BKhông thể giải được
  3. CGiải được trong thời gian đa thức
  4. DNằm ngoài NP nhưng khó hơn mọi bài toán NP, chẳng hạn bài toán dừng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Một phần tử mới được chèn vào đống nhị phân như thế nào?

  1. AChèn nó vào vị trí đã sắp bằng cách dịch tất cả các phần tử lớn hơn sang phải một vị trí
  2. BĐặt nó ở gốc và đẩy xuống
  3. CXây lại toàn bộ đống từ đầu
  4. DĐặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Các khóa 5, 3, 8, 1 được chèn theo thứ tự này vào đống min nhị phân dùng mảng rỗng. Mảng cuối cùng là gì?

  1. A[1, 5, 8, 3]
  2. B[3, 1, 8, 5]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K4 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K4
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
13615641510967ABCDEFG

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 3; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Thuật toán Dijkstra

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Dijkstra hoạt động với trọng số không âm; Bellman–Ford xử lý được trọng số âm; Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất.

Đáp số

C · Thuật toán Dijkstra
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Thuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức

Vì sao đây là đáp án

Các bài toán NP-đầy đủ là khó nhất trong NP; một thuật toán đa thức cho một bài sẽ cho ra thuật toán cho toàn bộ NP.

Đáp số

A · Thuộc NP và mọi bài toán NP đều quy dẫn về nó trong thời gian đa thức
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Đặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống

Vì sao đây là đáp án

Thêm ở cuối giữ cây đầy đủ; hoán đổi với cha khôi phục thứ tự trong O(log n) bước.

Đáp số

D · Đặt nó ở cuối mảng và đẩy lên trong khi nó vi phạm tính chất đống
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · [1, 3, 8, 5]

Vì sao đây là đáp án

Sau 5, 3, 8 mảng là [3, 5, 8]; 1 vào chỉ số 3, hoán đổi với cha 5 rồi với 3, cho [1, 3, 8, 5].

Đáp số

C · [1, 3, 8, 5]
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 3

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Đáp số

H = 3
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: C

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 13
2. B (13): C: 19, D: 28, G: 23
3. C (19): E: 25
4. G (23)
5. E (25): F: 40
6. D (28)
7. F (40)

vòng 3

C

Đáp số

C

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms