Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Floyd–Warshall tính gì, và nhanh đến mức nào?

  1. AĐường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
  2. BMột thứ tự tô-pô trong O(V²)
  3. CMột cây khung nhỏ nhất trong O(E log V)
  4. DĐường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn đến mọi đỉnh khác trong O(V + E)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán người bán hàng rong được phân loại thế nào?

  1. ANó bất khả quyết định
  2. BPhiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
  3. CNó thuộc P vì thuật toán Dijkstra giải được nó bằng cách thăm mỗi thành phố một lần
  4. DPhiên bản quyết định thuộc P nhưng phiên bản tối ưu hóa là NP-đầy đủ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân min lưu trong mảng (chỉ số bắt đầu từ 0), các con của nút ở chỉ số i nằm ở:

  1. A2i + 1 và 2i + 2
  2. B2i và 2i + 1
  3. Ci + 1 và i + 2
  4. Di/2 và i/2 + 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Để bảng băm hoạt động đúng, băm và so sánh bằng phải tuân theo quy tắc nào?

  1. AGiá trị băm phải là số nguyên tố
  2. BGiá trị băm bằng nhau suy ra khóa bằng nhau
  3. CCác khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
  4. DCác khóa khác nhau phải có giá trị băm khác nhau
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
6411414587ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 3; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)

Vì sao đây là đáp án

Floyd–Warshall là thuật toán quy hoạch động cho phép lần lượt từng đỉnh làm điểm trung gian, dùng thời gian O(V³).

Đáp số

A · Đường đi ngắn nhất giữa mọi cặp đỉnh trong O(V³)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

"Có hành trình nào dài tối đa k không?" là NP-đầy đủ; tìm hành trình ngắn nhất là NP-khó, vì ít nhất cũng khó bằng.

Đáp số

B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · 2i + 1 và 2i + 2

Vì sao đây là đáp án

Với mảng bắt đầu từ 0, con trái ở 2i + 1, con phải ở 2i + 2, và cha ở ⌊(i − 1)/2⌋.

Đáp số

A · 2i + 1 và 2i + 2
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau

Vì sao đây là đáp án

Nếu hai khóa bằng nhau băm khác nhau, chúng sẽ được lưu ở các ngăn khác nhau và tra cứu sẽ thất bại; các khóa không bằng nhau vẫn có thể chung giá trị băm.

Đáp số

C · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

A, C → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: B

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 6, C: 4
2. C (4): B: 5, E: 18
3. B (5): D: 19, E: 12
4. E (12): D: 17, F: 20
5. D (17)
6. F (20)

vòng 3

B

Đáp số

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms