Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Vì sao nhiều hàm sắp xếp trong thư viện chuyển sang sắp xếp chèn cho các mảng con rất nhỏ?

  1. ASắp xếp chèn là O(n log n) trong trường hợp xấu nhất
  2. BSắp xếp chèn dùng ít bộ nhớ hơn mọi thuật toán sắp xếp khác trên đầu vào lớn
  3. CCác thuật toán đệ quy không xử lý được mảng dưới 10 phần tử
  4. DSắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán Bellman–Ford phát hiện chu trình trọng số âm có thể đến được từ nguồn bằng cách nào?

  1. ANó chạy thuật toán Dijkstra hai lần và so sánh hai kết quả khoảng cách
  2. BNó đếm các chu trình bằng tìm kiếm theo chiều sâu
  3. CNó kiểm tra xem có cạnh nào có trọng số âm không
  4. DSau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Kiểm tra cạnh (u, v) có tồn tại hay không bằng ma trận kề mất bao lâu?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(1)
  4. DO(V)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao cơ sở dữ liệu thường dùng cây B+ thay vì cây B thông thường cho chỉ mục?

  1. ACây B+ không cần cân bằng
  2. BCây B+ dùng các nút trong nhị phân, giúp giảm số lần đọc đĩa
  3. CMọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả
  4. DCây B+ chỉ lưu dữ liệu ở gốc
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
141515471113ABCDEF

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Với n nhỏ, vòng lặp đơn giản của sắp xếp chèn thắng chi phí đệ quy của quicksort hay sắp xếp trộn, dù nó là O(n²).

Đáp số

D · Sắp xếp chèn ít chi phí phụ và nhanh trên đầu vào nhỏ hoặc gần như đã sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không

Vì sao đây là đáp án

Mọi khoảng cách ngắn nhất thực sự được tìm thấy trong V − 1 vòng; nếu một cạnh vẫn có thể được cải thiện thì phải tồn tại chu trình âm.

Đáp số

D · Sau V − 1 vòng, nó kiểm tra xem có cạnh nào vẫn có thể được nới lỏng không
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(1)

Vì sao đây là đáp án

Phần tử ma trận ở hàng u, cột v cho biết ngay cạnh có tồn tại hay không; danh sách kề có thể phải quét các láng giềng của u.

Đáp số

C · O(1)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Mọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả

Vì sao đây là đáp án

Trong cây B+, các nút trong chỉ dẫn đường tìm kiếm và các lá được liên kết theo thứ tự khóa, nên truy vấn khoảng tìm khóa đầu tiên rồi đi dọc theo các lá.

Đáp số

C · Mọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Các đỉnh lẻ

A, B, D, F → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 31

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

BD (1): lấy
DE (4): lấy
CE (5): lấy
DF (7): lấy
EF (11): bỏ qua, tạo chu trình
BE (13): bỏ qua, tạo chu trình
AC (14): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 4 + 5 + 7 + 14 = 31

Đáp số

W = 31

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms