Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quy hoạch động hữu ích khi một bài toán có:

  1. AHoàn toàn không có bài toán con, nên có thể giải trong một bước
  2. BChỉ các đầu vào ngẫu nhiên
  3. CCác bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
  4. DMột vòng lặp duy nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp chèn chạy trong O(n) trên đầu vào đã sắp xếp. Điều này có mâu thuẫn với cận dưới Ω(n log n) cho sắp xếp dựa trên so sánh không?

  1. AKhông, vì sắp xếp chèn không phải là sắp xếp dựa trên so sánh
  2. BCó, nhưng chỉ với mảng ngắn hơn 100
  3. CCó, nên cận dưới là sai
  4. DKhông, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cây AVL duy trì điều kiện cân bằng nào tại mọi nút?

  1. AChiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
  2. BMỗi nút được tô đỏ hoặc đen
  3. CCả hai cây con của mọi nút chứa đúng cùng số nút
  4. DMọi lá ở cùng một độ sâu chính xác
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong bộ đệm vòng, front == rear có thể nghĩa là rỗng hoặc đầy. Cách phổ biến để phân biệt là gì?

  1. ALưu front và rear trong cùng một biến
  2. BLuôn xóa bộ đệm bất cứ khi nào front bằng rear, nên trạng thái là rỗng
  3. CGiữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô
  4. DLàm kích thước bộ đệm là lũy thừa của hai
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K7 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K7
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
15186714511312ABCDEFG

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu

Vì sao đây là đáp án

Lưu kết quả của các bài toán con chồng lặp (ghi nhớ hoặc lập bảng) tránh công việc lặp lại, biến các thuật toán hàm mũ thành đa thức.

Đáp số

C · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào

Vì sao đây là đáp án

Cận này nói rằng mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần khoảng n log n phép so sánh trên một đầu vào nào đó kích thước n; các đầu vào đặc biệt có thể nhanh hơn nhiều.

Đáp số

D · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1

Vì sao đây là đáp án

Hệ số cân bằng (chiều cao trái − chiều cao phải) phải là −1, 0 hoặc 1; các phép xoay khôi phục nó sau khi chèn và xóa.

Đáp số

A · Chiều cao của cây con trái và phải chênh lệch tối đa 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Giữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô

Vì sao đây là đáp án

Với bộ đếm, rỗng nghĩa là count = 0 và đầy nghĩa là count = sức chứa; với một ô trống, đầy được định nghĩa là (rear + 1) mod n == front.

Đáp số

C · Giữ một bộ đếm phần tử riêng, hoặc luôn để trống một ô
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 360

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Đáp số

H = 360
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 48

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

GC (1): lấy
GB (5): lấy
CE (6): lấy
DE (7): lấy
GE (12): bỏ qua, tạo chu trình
GD (13): bỏ qua, tạo chu trình
EF (14): lấy
AB (15): lấy

Tổng trọng số

W = 1 + 5 + 6 + 7 + 14 + 15 = 48

Đáp số

W = 48

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms