Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = T(n − 1) + O(n) có nghiệm là gì?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán cái túi 0/1 giải bằng quy hoạch động mất thời gian O(nW). Vì sao điều này được gọi là giả đa thức?

  1. AVì thuật toán là ngẫu nhiên và thời gian chạy thay đổi theo từng đầu vào
  2. BVì nó chỉ hoạt động khi W = 0
  3. CVì n luôn nhỏ
  4. DW là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Phương pháp xử lý va chạm nào lưu các khóa va chạm trong một danh sách ở cùng một ngăn?

  1. ADò tuyến tính
  2. BXâu chuỗi riêng (separate chaining)
  3. CDò bậc hai
  4. DBăm kép
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Phát biểu nào về heapsort là đúng?

  1. ANó cần một cây tìm kiếm nhị phân làm bộ nhớ phụ, nên dùng thêm O(n) bộ nhớ
  2. BNó ổn định và cần O(n) bộ nhớ thêm
  3. CNó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
  4. DNó chạy trong thời gian O(n) với mọi đầu vào
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
103131314910ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n²)

Vì sao đây là đáp án

Công việc cộng lại xấp xỉ n² / 2, đó là công thức truy hồi của sắp xếp chọn hoặc của quicksort với pivot tệ nhất.

Đáp số

A · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W

Vì sao đây là đáp án

Thời gian chạy là đa thức theo giá trị của W nhưng là hàm mũ theo độ dài của nó (log W bit); bài toán cái túi 0/1 là NP-đầy đủ.

Đáp số

D · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Xâu chuỗi riêng (separate chaining)

Vì sao đây là đáp án

Xâu chuỗi giữ một danh sách liên kết (hoặc cấu trúc khác) cho mỗi ngăn; địa chỉ mở tìm một ô trống khác ngay trong bảng.

Đáp số

B · Xâu chuỗi riêng (separate chaining)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định

Vì sao đây là đáp án

Heapsort xây một đống max và lấy giá trị lớn nhất n lần ngay trong cùng mảng; các hoán đổi ở khoảng cách xa có thể làm đổi thứ tự các khóa bằng nhau.

Đáp số

C · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Các đỉnh lẻ

B, C, D, E → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 23

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 10, C: 3
C (3): B: 4, E: 16
B (4): D: 7, E: 14
D (7)
E (14): F: 23
F (23)

Đường đi ngắn nhất

A → C → B → E → F
d(F) = 23

Đáp số

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms