Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
2Bài tập
1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình
Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?
ATham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
BTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
CTham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
DTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó
Bài toán cái túi 0/1 giải bằng quy hoạch động mất thời gian O(nW). Vì sao điều này được gọi là giả đa thức?
AVì nó chỉ hoạt động khi W = 0
BVì thuật toán là ngẫu nhiên và thời gian chạy thay đổi theo từng đầu vào
CVì n luôn nhỏ
DW là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình
Bộ đệm vòng (circular buffer, ring buffer) thường được dùng để cài đặt:
ACây tìm kiếm nhị phân
BHàng đợi kích thước cố định
CHàm băm
DPhép duyệt đồ thị
4.Cấu trúc dữ liệuKhó
Bạn phải giữ k giá trị nhỏ nhất từ một luồng n số bằng bộ nhớ O(k). Cách nào chạy trong thời gian O(n log k)?
AMột hàng đợi FIFO gồm k giá trị cuối
BMột đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
CMột đống min chứa tất cả n giá trị, từ đó k giá trị nhỏ nhất được lấy ra ở cuối
DMột mảng đã sắp xếp chứa tất cả n giá trị
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
Một cây có 3 đỉnh bậc 3, 4 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 2 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?
3 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 5; các cạnh bị bỏ qua không được tính.
k = 5
1cạnh AB
2cạnh BC
3cạnh BD
4cạnh CE
5cạnh DE
6cạnh DF
7cạnh GB
8cạnh GC
9cạnh GD
3Dung dịch
1.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: B · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
Vì sao đây là đáp án
Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.
Đáp số
B · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: D · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
Vì sao đây là đáp án
Thời gian chạy là đa thức theo giá trị của W nhưng là hàm mũ theo độ dài của nó (log W bit); bài toán cái túi 0/1 là NP-đầy đủ.
Đáp số
D · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
3.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: B · Hàng đợi kích thước cố định
Vì sao đây là đáp án
Bộ đệm vòng dùng chỉ số đầu và đuôi quay vòng, cho phép enqueue và dequeue O(1) trong bộ nhớ cố định.
Đáp số
B · Hàng đợi kích thước cố định
4.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: B · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
Vì sao đây là đáp án
Gốc của đống max là giá trị lớn nhất đang giữ; mọi giá trị mới nhỏ hơn sẽ thay nó trong O(log k), nên đống luôn chứa k giá trị nhỏ nhất cho đến hiện tại.
Đáp số
B · Một đống max kích thước k, thay gốc của nó khi có giá trị nhỏ hơn đến
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: L = 22
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Bổ đề bắt tay cho một cây
L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22
Đáp số
L = 22
Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.
6.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: cạnh BC
Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.