Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán Bellman–Ford trên đồ thị có V đỉnh và E cạnh là gì?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Phát biểu nào về ký hiệu little-o là đúng?

  1. An = o(n), vì mọi hàm đều là little-o của chính nó
  2. B2n = o(n), vì 2n tăng chậm
  3. Cn² = o(n)
  4. Dn = o(n²), nhưng n không phải o(n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Vì sao đống nhị phân có thể lưu trong mảng mà không cần con trỏ?

  1. ANó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
  2. BĐống không bao giờ chứa quá 100 phần tử
  3. CMảng tự động giữ các khóa theo thứ tự đã sắp, nên không cần con trỏ
  4. DMọi khóa trong đống đều bằng nhau
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong BST có gốc 50, cây con trái 30 (các con 20, 40) và cây con phải 70 (các con 60, 80), gốc bị xóa bằng nút kế tiếp theo thứ tự giữa. Khóa nào trở thành gốc mới?

  1. A70
  2. B60
  3. C40
  4. D80
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K6 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K6
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDE

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại C? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(V × E)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi vòng trong V − 1 vòng nới lỏng tất cả E cạnh, cho O(VE); đổi lại nó xử lý được trọng số cạnh âm.

Đáp số

A · O(V × E)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · n = o(n²), nhưng n không phải o(n)

Vì sao đây là đáp án

f = o(g) nghĩa là f(n) / g(n) tiến về 0; n / n² tiến về 0, nhưng n / n = 1 thì không.

Đáp số

D · n = o(n²), nhưng n không phải o(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản

Vì sao đây là đáp án

Tính đầy đủ nghĩa là không có khoảng trống, nên các con của chỉ số i luôn ở 2i + 1 và 2i + 2.

Đáp số

A · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · 60

Vì sao đây là đáp án

Nút ngoài cùng bên trái của cây con phải là 60, nên 60 thay 50 và vị trí cũ của nó bị xóa; dùng nút liền trước sẽ cho 40.

Đáp số

B · 60
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 60

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Đáp số

H = 60
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 4

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Thêm một bước

(M³)CC = 1·1 + 2·1 + 3·0 + 2·0 + 1·1 = 4

Đáp số

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms