Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Với các đồng xu 1, 3 và 4 và số tiền 6, phương pháp tham lam "đồng lớn nhất trước" dùng bao nhiêu đồng, so với tối ưu?

  1. ATham lam dùng 4 đồng; tối ưu là 3
  2. BTham lam dùng 2 đồng; tối ưu là 2
  3. CTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 3
  4. DTham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao tìm kiếm nhị phân không cho thời gian O(log n) trên một danh sách liên kết đơn?

  1. ATìm kiếm nhị phân cần ít nhất gấp đôi bộ nhớ
  2. BĐến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
  3. CDanh sách liên kết không thể được sắp xếp
  4. DCác phép so sánh trên nút danh sách liên kết chậm hơn
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Phương pháp xử lý va chạm nào lưu các khóa va chạm trong một danh sách ở cùng một ngăn?

  1. ADò tuyến tính
  2. BXâu chuỗi riêng (separate chaining)
  3. CBăm kép
  4. DDò bậc hai
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Trong thuật toán cây khung nhỏ nhất Kruskal, cấu trúc union-find được dùng để làm gì?

  1. ALưu khoảng cách hiện tại của mỗi đỉnh từ nguồn trong quá trình tìm kiếm
  2. BKiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa
  3. CSắp xếp các cạnh theo trọng số
  4. DChọn đỉnh bắt đầu
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 6 đỉnh và 15 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 6|E| = 15
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
ABCDEF

Có bao nhiêu đường đi khép kín độ dài 3 bắt đầu và kết thúc tại A? Một đường đi có thể lặp lại đỉnh và cạnh. Gọi số đó là N.

M = ma trận kềL = 3
N =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2

Vì sao đây là đáp án

Tham lam lấy 4 + 1 + 1 = 3 đồng, nhưng 3 + 3 chỉ dùng 2, nên tham lam không tối ưu cho hệ đồng xu này; quy hoạch động thì tối ưu.

Đáp số

D · Tham lam dùng 3 đồng; tối ưu là 2
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp

Vì sao đây là đáp án

Tìm kiếm nhị phân cần truy cập O(1) vào phần tử giữa; trên danh sách liên kết, đi đến đó tốn thời gian tuyến tính, nên tổng là O(n).

Đáp số

B · Đến được phần tử giữa mất O(n) bước, vì không có truy cập chỉ số trực tiếp
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Xâu chuỗi riêng (separate chaining)

Vì sao đây là đáp án

Xâu chuỗi giữ một danh sách liên kết (hoặc cấu trúc khác) cho mỗi ngăn; địa chỉ mở tìm một ô trống khác ngay trong bảng.

Đáp số

B · Xâu chuỗi riêng (separate chaining)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Kiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa

Vì sao đây là đáp án

Find cho biết hai đầu mút có cùng thành phần hay không; nếu không, cạnh được thêm vào và union gộp các thành phần.

Đáp số

B · Kiểm tra hai đầu mút của một cạnh đã được nối với nhau chưa
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 10

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

6 − 1 = 5

Các cạnh cần bỏ

k = 15 − 5 = 10

Đáp số

k = 10
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: N = 2

Bậc: bậc của một đỉnh là số cạnh gặp đỉnh đó. Mỗi cạnh có hai đầu, nên tổng các bậc bằng hai lần số cạnh: Σ deg(v) = 2|E| (bổ đề bắt tay). Do đó số đỉnh có bậc lẻ là số chẵn. Kn có n(n − 1)/2 cạnh, một đồ thị k-đều trên n đỉnh có nk/2 cạnh, và một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh.

Ma trận kề

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Thêm một bước

(M³)AA = 2·0 + 1·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·0 = 2

Đáp số

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms