Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của: for i = 1 to n: for j = 1 to i: thực hiện công việc O(1) là gì?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n³)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Chi phí thời gian và không gian của việc tính số Fibonacci thứ n bằng một vòng lặp chỉ giữ hai giá trị cuối là bao nhiêu?

  1. AThời gian O(2ⁿ) và không gian O(1)
  2. BThời gian O(n) và không gian O(n)
  3. CThời gian O(log n) và không gian O(n)
  4. DThời gian O(n) và không gian O(1)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Extract-min hoạt động thế nào trong đống min nhị phân?

  1. AChuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống
  2. BXóa phần tử cuối của mảng
  3. CTìm trong tất cả các lá giá trị nhỏ nhất mới
  4. DXóa gốc và dịch tất cả phần tử sang trái một vị trí
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Tính chất nào giữ cho mọi cây B cân bằng hoàn hảo?

  1. AMỗi nút có đúng hai con
  2. BMỗi nút lưu một khóa
  3. CCác khóa chỉ được lưu ở gốc
  4. DMọi lá ở cùng một độ sâu
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K8 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K8
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
46511313148ABCDEF

Thuật toán Kruskal xây dựng một cây khung nhỏ nhất. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4; các cạnh bị bỏ qua không được tính.

k = 4
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh DF
  8. 8cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n²)

Vì sao đây là đáp án

Thân vòng lặp trong chạy tổng cộng n(n + 1) / 2 lần, vẫn là bậc hai.

Đáp số

C · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Thời gian O(n) và không gian O(1)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi bước chỉ cần hai giá trị trước đó, nên bảng của phương pháp từ dưới lên có thể được thay bằng hai biến.

Đáp số

D · Thời gian O(n) và không gian O(1)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Chuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống

Vì sao đây là đáp án

Phần tử cuối lấp chỗ trống ở gốc và được hoán đổi với con nhỏ hơn cho đến khi tính chất đống được thỏa, tốn O(log n).

Đáp số

A · Chuyển phần tử cuối lên gốc và đẩy xuống
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Mọi lá ở cùng một độ sâu

Vì sao đây là đáp án

Các nút tách lên phía trên khi đầy và cây chỉ cao thêm khi gốc tách, nên mọi lá luôn ở cùng một mức.

Đáp số

D · Mọi lá ở cùng một độ sâu
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 2520

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Đáp số

H = 2520
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BD

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

1. CE (3)
2. AB (4)
3. BC (5)
4. BD (11)
5. DF (14)

cạnh số 4

BD

Đáp số

cạnh BD

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms