Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một thuật toán tham lam:

  1. AĐưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước
  2. BThử mọi lời giải có thể
  3. CLuôn cho lời giải tối ưu
  4. DChỉ dùng đệ quy
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sắp xếp chèn chạy trong O(n) trên đầu vào đã sắp xếp. Điều này có mâu thuẫn với cận dưới Ω(n log n) cho sắp xếp dựa trên so sánh không?

  1. AKhông, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
  2. BCó, nên cận dưới là sai
  3. CCó, nhưng chỉ với mảng ngắn hơn 100
  4. DKhông, vì sắp xếp chèn không phải là sắp xếp dựa trên so sánh
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong hàng đợi vòng lưu trong mảng có sức chứa n, vị trí kế tiếp sau chỉ số i được tính thế nào?

  1. A(i + 1) mod n
  2. B(i − 1) mod n
  3. C2i + 1
  4. Di + 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Độ phức tạp thời gian của decrease-key trong đống nhị phân (biết vị trí phần tử) là:

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K8 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K8
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
6154149144ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Đưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán tham lam nhanh và tối ưu cho một số bài toán (ví dụ Dijkstra, mã hóa Huffman) nhưng không phải nói chung (ví dụ đổi tiền với một số hệ thống đồng xu).

Đáp số

A · Đưa ra lựa chọn tốt nhất cục bộ ở mỗi bước
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào

Vì sao đây là đáp án

Cận này nói rằng mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần khoảng n log n phép so sánh trên một đầu vào nào đó kích thước n; các đầu vào đặc biệt có thể nhanh hơn nhiều.

Đáp số

A · Không, cận dưới áp dụng cho trường hợp xấu nhất trên mọi đầu vào, không phải cho từng đầu vào
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · (i + 1) mod n

Vì sao đây là đáp án

Phép modulo quay chỉ số n − 1 về 0, nên mảng được dùng lại mà không cần dịch chuyển phần tử.

Đáp số

A · (i + 1) mod n
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(log n)

Vì sao đây là đáp án

Sau khi giảm khóa, phần tử được đẩy lên nhiều nhất bằng chiều cao của đống. Đống Fibonacci đạt decrease-key khấu hao O(1).

Đáp số

B · O(log n)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 2520

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Đáp số

H = 2520
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 19

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 6, C: 1
C (1): E: 5
E (5): D: 19, F: 19
B (6): D: 11
D (11)
F (19)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → F
d(F) = 19

Đáp số

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms