Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Một hàm giai thừa đệ quy đơn giản fact(n) = n × fact(n − 1) dùng bao nhiêu không gian ngăn xếp?

  1. AO(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán thỏa mãn nào sau đây được biết là giải được trong thời gian đa thức?

  1. ASAT tổng quát trên các công thức dạng chuẩn tắc hội
  2. B2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
  3. C3-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có đúng ba literal
  4. DThỏa mãn mạch
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Danh sách kề dùng bao nhiêu bộ nhớ cho đồ thị có V đỉnh và E cạnh?

  1. AO(V²)
  2. BO(E²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Cấu trúc dữ liệu nào hỗ trợ bộ nhớ đệm LRU (ít được dùng gần đây nhất) với get và put O(1)?

  1. AMột mảng đã sắp xếp đơn lẻ
  2. BMột bảng băm kết hợp với danh sách liên kết đôi
  3. CChỉ một ngăn xếp
  4. DChỉ một cây tìm kiếm nhị phân
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 2 đỉnh bậc 3, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

2 × deg 3
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
15912171328ABCDE

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh D. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 2.

bắt đầu: Dk = 2
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Đệ quy sâu n lời gọi trước khi có lời gọi nào trả về, và mỗi lời gọi cần một khung ngăn xếp, nên nó dùng không gian O(n).

Đáp số

D · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal

Vì sao đây là đáp án

2-SAT thuộc P (thời gian tuyến tính qua các thành phần liên thông mạnh), trong khi 3-SAT là NP-đầy đủ.

Đáp số

B · 2-SAT, trong đó mỗi mệnh đề có tối đa hai literal
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(V + E)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi đỉnh có một danh sách và mỗi cạnh xuất hiện một lần (có hướng) hoặc hai lần (vô hướng), cho O(V + E).

Đáp số

C · O(V + E)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Một bảng băm kết hợp với danh sách liên kết đôi

Vì sao đây là đáp án

Bảng băm tìm nút trong O(1) và danh sách liên kết đôi chuyển phần tử vừa truy cập lên đầu và loại bỏ ở cuối trong O(1).

Đáp số

B · Một bảng băm kết hợp với danh sách liên kết đôi
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 4

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Đáp số

L = 4

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh BE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. DE (2)
2. BE (8)
3. BC (12)
4. AC (9)

cạnh số 2

BE

Đáp số

cạnh BE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms