Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Công thức truy hồi T(n) = T(n − 1) + O(1) có nghiệm là gì?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán dừng cho thấy rằng:

  1. AMột số chương trình chạy nhanh hơn trên máy tính nhanh hơn, nên việc dừng phụ thuộc vào phần cứng
  2. BMọi chương trình cuối cùng đều dừng
  3. CKhông thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không
  4. DNên tránh các vòng lặp
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Vì sao đống nhị phân có thể lưu trong mảng mà không cần con trỏ?

  1. ANó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
  2. BMảng tự động giữ các khóa theo thứ tự đã sắp, nên không cần con trỏ
  3. CMọi khóa trong đống đều bằng nhau
  4. DĐống không bao giờ chứa quá 100 phần tử
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Để bảng băm hoạt động đúng, băm và so sánh bằng phải tuân theo quy tắc nào?

  1. ACác khóa khác nhau phải có giá trị băm khác nhau
  2. BGiá trị băm bằng nhau suy ra khóa bằng nhau
  3. CCác khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
  4. DGiá trị băm phải là số nguyên tố
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Đồ thị đầy đủ K5 có bao nhiêu chu trình Hamilton khác nhau H? Các chu trình chỉ khác nhau ở đỉnh xuất phát hoặc chiều đi được tính là một.

K5
H =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
6291518114ABCDE

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh A. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4.

bắt đầu: Ak = 4
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Có n tầng với công việc hằng số mỗi tầng, như tổng đệ quy của một mảng.

Đáp số

C · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Không thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không

Vì sao đây là đáp án

Turing chỉ ra rằng bài toán dừng là bất khả quyết định: giả sử tồn tại một bộ quyết định sẽ dẫn đến mâu thuẫn với một chương trình làm điều ngược lại.

Đáp số

C · Không thuật toán nào có thể quyết định, với mọi chương trình và đầu vào, liệu nó có dừng hay không
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản

Vì sao đây là đáp án

Tính đầy đủ nghĩa là không có khoảng trống, nên các con của chỉ số i luôn ở 2i + 1 và 2i + 2.

Đáp số

A · Nó là cây nhị phân đầy đủ, nên các vị trí tuân theo công thức chỉ số đơn giản
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau

Vì sao đây là đáp án

Nếu hai khóa bằng nhau băm khác nhau, chúng sẽ được lưu ở các ngăn khác nhau và tra cứu sẽ thất bại; các khóa không bằng nhau vẫn có thể chung giá trị băm.

Đáp số

C · Các khóa bằng nhau phải có giá trị băm bằng nhau
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: H = 12

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Đếm

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Đáp số

H = 12
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh DE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. AC (2)
2. AB (6)
3. BE (14)
4. DE (1)

cạnh số 4

DE

Đáp số

cạnh DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms