Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của thuật toán Bellman–Ford trên đồ thị có V đỉnh và E cạnh là gì?

  1. AO(V + E)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V³ × E)
  4. DO(V × E)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Sự khác biệt giữa một bài toán bất khả quyết định và một bài toán không khả thi (intractable) là gì?

  1. ABài toán bất khả quyết định thuộc NP, còn bài toán không khả thi thuộc P
  2. BBài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
  3. CBài toán không khả thi không thể giải bằng bất kỳ thuật toán nào, còn bài toán bất khả quyết định chỉ cần thời gian hàm mũ
  4. DCả hai đều có nghĩa là bài toán hoàn toàn không có thuật toán
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Mục đích của nút lính canh (sentinel, nút giả) trong danh sách liên kết là gì?

  1. ALàm cho danh sách được sắp xếp
  2. BLưu số phần tử
  3. CĐơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
  4. DNgăn danh sách phát triển vượt quá một số nút tối đa cố định
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Thời gian chạy của tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị có V đỉnh được lưu bằng ma trận kề là bao nhiêu?

  1. AO(V)
  2. BO(E log V)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 4 đỉnh bậc 3, 3 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, 3 đỉnh bậc 2, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
410691438146ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · O(V × E)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi vòng trong V − 1 vòng nới lỏng tất cả E cạnh, cho O(VE); đổi lại nó xử lý được trọng số cạnh âm.

Đáp số

D · O(V × E)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm

Vì sao đây là đáp án

Bài toán dừng hoàn toàn không có thuật toán; một bài toán NP-khó như TSP có thể giải bằng vét cạn, chỉ là không trong thời gian đa thức đã biết.

Đáp số

B · Bài toán bất khả quyết định không có thuật toán nào cho mọi đầu vào; bài toán không khả thi có thuật toán, nhưng quá chậm
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối

Vì sao đây là đáp án

Với nút lính canh, mọi nút thật đều có nút đứng trước, nên chèn hoặc xóa ở đầu không cần xử lý đặc biệt.

Đáp số

C · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi trong V đỉnh quét một hàng gồm V phần tử, cho O(V²); với danh sách kề BFS là O(V + E).

Đáp số

D · O(V²)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 21

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 45 = 2(L + 13) − 2
L = 21

Đáp số

L = 21

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 21

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 4, C: 10
B (4): D: 13, E: 10
C (10)
E (10): F: 24
D (13): F: 21
F (21)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D → F
d(F) = 21

Đáp số

d(F) = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms