Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Trong bài toán chọn hoạt động, quy tắc tham lam nào luôn cho số hoạt động không chồng lấn tối đa?

  1. AChọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  2. BChọn hoạt động có ít chồng lấn nhất trước, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
  3. CChọn hoạt động ngắn nhất trước
  4. DChọn hoạt động bắt đầu sớm nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao thuật toán Dijkstra có thể cho kết quả sai khi một số trọng số cạnh âm?

  1. ANó chỉ hoạt động trên đồ thị vô hướng
  2. BSố âm không thể lưu trong hàng đợi ưu tiên
  3. CMột đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn
  4. DNó rơi vào vòng lặp vô hạn ở mọi cạnh âm
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Cấu trúc dữ liệu nào được tìm kiếm theo chiều sâu (phiên bản lặp) sử dụng?

  1. ANgăn xếp
  2. BHàng đợi
  3. CĐống
  4. DChỉ bảng băm
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Thời gian chạy của tìm kiếm theo chiều rộng trên đồ thị có V đỉnh được lưu bằng ma trận kề là bao nhiêu?

  1. AO(V)
  2. BO(V²)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
4615185713ABCDE

Thuật toán Prim xây dựng một cây khung nhỏ nhất bắt đầu từ đỉnh A. Hãy nhấp vào cạnh mà nó thêm vào là cạnh số 4.

bắt đầu: Ak = 4
  1. 1cạnh AB
  2. 2cạnh AC
  3. 3cạnh BC
  4. 4cạnh BD
  5. 5cạnh CE
  6. 6cạnh DE
  7. 7cạnh BE

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích

Vì sao đây là đáp án

Chọn thời điểm kết thúc sớm nhất có thể được chứng minh là tối ưu bằng lập luận hoán đổi; các quy tắc khác đều có phản ví dụ.

Đáp số

A · Chọn hoạt động kết thúc sớm nhất, rồi lặp lại với các hoạt động tương thích
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Một đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn

Vì sao đây là đáp án

Bước tham lam dựa vào trọng số không âm để các khoảng cách đã lấy ra là cuối cùng; Bellman–Ford được dùng khi trọng số có thể âm.

Đáp số

C · Một đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Ngăn xếp

Vì sao đây là đáp án

DFS khám phá sâu nhất có thể, tự nhiên dùng ngăn xếp (hoặc ngăn xếp lời gọi của đệ quy); BFS dùng hàng đợi.

Đáp số

A · Ngăn xếp
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · O(V²)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi trong V đỉnh quét một hàng gồm V phần tử, cho O(V²); với danh sách kề BFS là O(V + E).

Đáp số

B · O(V²)
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

A, D → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: cạnh DE

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Prim

1. AB (4)
2. AC (6)
3. CE (5)
4. DE (7)

cạnh số 4

DE

Đáp số

cạnh DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms