Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quicksort luôn dùng phần tử đầu tiên làm pivot. Trên đầu vào nào nó thể hiện hành vi xấu nhất?

  1. AMột mảng đã được sắp xếp
  2. BMột mảng có thứ tự ngẫu nhiên
  3. CMột mảng mà các phần tử đều khác nhau
  4. DMột mảng có độ dài 2
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Vì sao thuật toán Dijkstra có thể cho kết quả sai khi một số trọng số cạnh âm?

  1. ASố âm không thể lưu trong hàng đợi ưu tiên
  2. BNó rơi vào vòng lặp vô hạn ở mọi cạnh âm
  3. CMột đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn
  4. DNó chỉ hoạt động trên đồ thị vô hướng
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong bảng băm dùng địa chỉ mở, hệ số tải tối đa có thể là bao nhiêu?

  1. A1
  2. B2
  3. CKhông có mức tối đa
  4. D0,5
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao máy chủ có thể chọn hàm băm ngẫu nhiên từ một họ phổ quát?

  1. AĐể làm bảng băm được sắp xếp
  2. BĐể đảm bảo không hai khóa nào từng va chạm, bất kể kẻ tấn công gửi khóa nào
  3. CĐể loại bỏ nhu cầu đổi kích thước bảng
  4. DĐể làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 10
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
12108131457510ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Một mảng đã được sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Trên đầu vào đã sắp xếp, pivot luôn là giá trị nhỏ nhất, nên một bên rỗng và bên kia có n − 1 phần tử, cho O(n²).

Đáp số

A · Một mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Một đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn

Vì sao đây là đáp án

Bước tham lam dựa vào trọng số không âm để các khoảng cách đã lấy ra là cuối cùng; Bellman–Ford được dùng khi trọng số có thể âm.

Đáp số

C · Một đỉnh được chốt khi được lấy ra, nhưng một cạnh âm sau đó vẫn có thể cho nó một đường đi ngắn hơn
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · 1

Vì sao đây là đáp án

Với địa chỉ mở, mọi khóa được lưu ngay trong bảng, nên n không thể vượt m; xâu chuỗi riêng có thể có hệ số tải trên 1.

Đáp số

A · 1
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · Để làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm

Vì sao đây là đáp án

Với băm phổ quát, số va chạm kỳ vọng nhỏ đối với mọi tập khóa, vì kẻ tấn công không biết hàm nào được chọn.

Đáp số

D · Để làm cho kẻ tấn công rất khó chọn nhiều khóa cùng va chạm
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Các đỉnh lẻ

A, B, C, D → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 27

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 12, C: 10
C (10): E: 24
B (12): D: 25, E: 22
E (22): F: 27
D (25)
F (27)

Đường đi ngắn nhất

A → B → E → F
d(F) = 27

Đáp số

d(F) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms