Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quy hoạch động hữu ích khi một bài toán có:

  1. AChỉ các đầu vào ngẫu nhiên
  2. BCác bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
  3. CHoàn toàn không có bài toán con, nên có thể giải trong một bước
  4. DMột vòng lặp duy nhất
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Độ phức tạp thời gian của việc xây dựng một đống nhị phân từ n phần tử chưa sắp xếp bằng phương pháp từ dưới lên là gì?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Mục đích của nút lính canh (sentinel, nút giả) trong danh sách liên kết là gì?

  1. ALàm cho danh sách được sắp xếp
  2. BNgăn danh sách phát triển vượt quá một số nút tối đa cố định
  3. CĐơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
  4. DLưu số phần tử
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Vì sao cơ sở dữ liệu thường dùng cây B+ thay vì cây B thông thường cho chỉ mục?

  1. ACây B+ dùng các nút trong nhị phân, giúp giảm số lần đọc đĩa
  2. BMọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả
  3. CCây B+ không cần cân bằng
  4. DCây B+ chỉ lưu dữ liệu ở gốc
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 12 đỉnh và 16 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 12|E| = 16
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
11217512119ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu

Vì sao đây là đáp án

Lưu kết quả của các bài toán con chồng lặp (ghi nhớ hoặc lập bảng) tránh công việc lặp lại, biến các thuật toán hàm mũ thành đa thức.

Đáp số

B · Các bài toán con chồng lặp và cấu trúc con tối ưu
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Cộng chi phí lọc xuống trên các tầng cho một chuỗi hội tụ, nên việc dựng đống chạy trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

A · O(n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối

Vì sao đây là đáp án

Với nút lính canh, mọi nút thật đều có nút đứng trước, nên chèn hoặc xóa ở đầu không cần xử lý đặc biệt.

Đáp số

C · Đơn giản hóa mã bằng cách loại bỏ các trường hợp đặc biệt ở đầu hoặc cuối
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Mọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả

Vì sao đây là đáp án

Trong cây B+, các nút trong chỉ dẫn đường tìm kiếm và các lá được liên kết theo thứ tự khóa, nên truy vấn khoảng tìm khóa đầu tiên rồi đi dọc theo các lá.

Đáp số

B · Mọi bản ghi nằm trong các lá được liên kết, giúp quét theo khoảng hiệu quả
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 5

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

12 − 1 = 11

Các cạnh cần bỏ

k = 16 − 11 = 5

Đáp số

k = 5
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 16

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 11, C: 2
C (2): B: 3, E: 7
B (3): D: 10
E (7): F: 16
D (10)
F (16)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → F
d(F) = 16

Đáp số

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms