Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Cận dưới của sắp xếp dựa trên so sánh trong trường hợp xấu nhất là:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(log n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Đường đi đơn ngắn nhất có thể tìm trong thời gian đa thức. Điều gì được biết về việc tìm đường đi đơn dài nhất giữa hai đỉnh trong đồ thị tổng quát?

  1. ANó luôn giải được trong O(V + E)
  2. BNó là NP-khó
  3. CNó bất khả quyết định
  4. DNó có thể giải bằng thuật toán Dijkstra với trọng số đổi dấu
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân lưu trong mảng bắt đầu từ chỉ số 0, cha của nút ở chỉ số i nằm ở đâu?

  1. AỞ chỉ số 2i + 1
  2. BỞ chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
  3. CỞ chỉ số ⌊i / 2⌋ + 1
  4. DỞ chỉ số i − 1
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Phát biểu nào về heapsort là đúng?

  1. ANó chạy trong thời gian O(n) với mọi đầu vào
  2. BNó ổn định và cần O(n) bộ nhớ thêm
  3. CNó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
  4. DNó cần một cây tìm kiếm nhị phân làm bộ nhớ phụ, nên dùng thêm O(n) bộ nhớ
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 6|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
14123913337ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(D) của đường đi ngắn nhất từ A đến D trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: D
d(D) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Ω(n log n)

Vì sao đây là đáp án

Mọi thuật toán sắp xếp dựa trên so sánh cần ít nhất log₂(n!) ≈ n log n phép so sánh trong trường hợp xấu nhất. Sắp xếp đếm vượt qua giới hạn này vì nó không so sánh.

Đáp số

D · Ω(n log n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · Nó là NP-khó

Vì sao đây là đáp án

Một đường đi đơn dài nhất có độ dài V − 1 là một đường đi Hamilton, một bài toán NP-đầy đủ; tuy nhiên, trên đồ thị có hướng không chu trình, nó giải được trong thời gian tuyến tính.

Đáp số

B · Nó là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋

Vì sao đây là đáp án

Các con của i ở 2i + 1 và 2i + 2, nên cha của i là ⌊(i − 1) / 2⌋; với chỉ số bắt đầu từ 1 nó là ⌊i / 2⌋.

Đáp số

B · Ở chỉ số ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định

Vì sao đây là đáp án

Heapsort xây một đống max và lấy giá trị lớn nhất n lần ngay trong cùng mảng; các hoán đổi ở khoảng cách xa có thể làm đổi thứ tự các khóa bằng nhau.

Đáp số

C · Nó sắp xếp tại chỗ trong thời gian O(n log n) trường hợp xấu nhất nhưng không ổn định
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: không phải cả hai

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 1

Các đỉnh lẻ

B, C, E, F → 4
không phải cả hai

Đáp số

không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(D) = 23

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 14, C: 12
C (12): E: 25
B (14): D: 23, E: 21
E (21)
D (23): F: 26
F (26)

Đường đi ngắn nhất

A → B → D
d(D) = 23

Đáp số

d(D) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms