Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.
1Công thức và phương pháp
Lý thuyết đồ thị
Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij
Phương pháp
Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).
2Bài tập
1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình
Độ phức tạp thời gian khấu hao của việc thêm phần tử vào cuối một mảng động nhân đôi dung lượng khi đầy là bao nhiêu?
AO(1)
BO(log n)
CO(n)
DO(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó
Bài toán người bán hàng rong được phân loại thế nào?
ANó thuộc P vì thuật toán Dijkstra giải được nó bằng cách thăm mỗi thành phố một lần
BPhiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
CPhiên bản quyết định thuộc P nhưng phiên bản tối ưu hóa là NP-đầy đủ
DNó bất khả quyết định
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình
Các khóa 50, 30, 70, 20, 40 được chèn theo thứ tự này vào một cây tìm kiếm nhị phân rỗng. Con trái của 30 là gì?
A20
B40
C70
D50
4.Cấu trúc dữ liệuKhó
Một đối tượng được lưu làm khóa trong bản đồ băm, rồi một trường được hàm băm của nó sử dụng bị thay đổi. Kết quả có khả năng nhất là gì?
ABản đồ ném lỗi ngay lúc trường thay đổi
BBản đồ tự động chuyển khóa sang ngăn mới
CTra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ
DKhông có gì thay đổi, vì giá trị băm của khóa chỉ được tính một lần khi chương trình khởi động
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.
|V| = 6|E| = 8
1Chu trình Euler
2Đường đi Euler, không có chu trình
3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.
bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =
3Dung dịch
1.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: A · O(1)
Vì sao đây là đáp án
Việc sao chép tất cả phần tử chỉ xảy ra ở các lũy thừa của hai; trải ra trên mọi lần thêm, chi phí trung bình mỗi lần thêm là hằng số.
Đáp số
A · O(1)
2.Thuật toán và độ phức tạp
Đáp số: B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
Vì sao đây là đáp án
"Có hành trình nào dài tối đa k không?" là NP-đầy đủ; tìm hành trình ngắn nhất là NP-khó, vì ít nhất cũng khó bằng.
Đáp số
B · Phiên bản quyết định là NP-đầy đủ và phiên bản tối ưu hóa là NP-khó
3.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: A · 20
Vì sao đây là đáp án
20 nhỏ hơn 50 và nhỏ hơn 30, nên nó trở thành con trái của 30; 40 trở thành con phải của nó.
Đáp số
A · 20
4.Cấu trúc dữ liệu
Đáp số: C · Tra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ
Vì sao đây là đáp án
Vị trí của khóa được chọn từ giá trị băm cũ; với giá trị băm mới, các lần tra cứu tìm sai ngăn, nên khóa phải bất biến.
Đáp số
C · Tra cứu đối tượng có thể thất bại vì nó nằm trong ngăn ứng với giá trị băm cũ
5.Lý thuyết đồ thị
Đáp số: không phải cả hai
Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.
Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.
Dijkstra từng vòng
Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.