Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Thuật toán Prim xây dựng cây khung nhỏ nhất như thế nào?

  1. ANó chạy tìm kiếm theo chiều rộng và giữ lại cây BFS
  2. BNó sắp xếp mọi cạnh theo trọng số và thêm từng cạnh trừ khi nó tạo chu trình trong rừng
  3. CNó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây
  4. DNó xóa cạnh đắt nhất cho đến khi không còn chu trình
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Kỹ thuật nào cho thời gian chạy kỳ vọng O(n log n) của quicksort trên mọi đầu vào?

  1. AChọn pivot đồng đều ngẫu nhiên
  2. BChỉ dùng đệ quy ở phía bên trái
  3. CSắp xếp đầu vào trước khi chạy quicksort
  4. DLuôn chọn phần tử đầu tiên
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trie (cây tiền tố) đặc biệt hiệu quả cho:

  1. ATìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành
  2. BSắp xếp các số
  3. CTìm đường đi ngắn nhất
  4. DLưu trữ ma trận
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Ưu điểm chính của skip list so với danh sách liên kết đã sắp xếp là gì?

  1. ATìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến
  2. BTìm kiếm O(1) được đảm bảo vì mỗi nút lưu một con trỏ tới mọi nút khác
  3. CNó không dùng thêm bộ nhớ
  4. DNó lưu khóa không có thứ tự
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
25201961614ABCDE

Hãy tìm tổng trọng số W của một cây khung nhỏ nhất của đồ thị có trọng số.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: C · Nó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây

Vì sao đây là đáp án

Thuật toán Prim, với hàng đợi ưu tiên các cạnh nối ra ngoài, chạy trong O(E log V) với đống nhị phân.

Đáp số

C · Nó phát triển một cây từ đỉnh xuất phát, thêm cạnh rẻ nhất đi ra khỏi cây
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Chọn pivot đồng đều ngẫu nhiên

Vì sao đây là đáp án

Với pivot ngẫu nhiên, thời gian chạy kỳ vọng là O(n log n) cho mọi đầu vào; các trường hợp xấu vẫn tồn tại nhưng rất khó xảy ra.

Đáp số

A · Chọn pivot đồng đều ngẫu nhiên
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Tìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành

Vì sao đây là đáp án

Trie lưu các chuỗi theo từng ký tự dọc đường đi, nên tra cứu và truy vấn tiền tố tốn thời gian tỷ lệ với độ dài khóa.

Đáp số

A · Tìm kiếm theo tiền tố như tự động hoàn thành
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: A · Tìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến

Vì sao đây là đáp án

Các tầng ngẫu nhiên cho phép tìm kiếm bỏ qua nhiều nút, cho tìm kiếm, chèn và xóa kỳ vọng O(log n).

Đáp số

A · Tìm kiếm kỳ vọng O(log n) nhờ dùng nhiều tầng con trỏ tiến
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Chu trình Euler

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Các đỉnh lẻ

0
Chu trình Euler

Đáp số

Chu trình Euler
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: W = 29

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Thuật toán Kruskal

AB (2): lấy
AC (5): lấy
CE (6): lấy
BE (14): bỏ qua, tạo chu trình
DE (16): lấy

Tổng trọng số

W = 2 + 5 + 6 + 16 = 29

Đáp số

W = 29

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms