Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của việc tính số Fibonacci thứ n bằng bảng từ dưới lên là gì?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(log n)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Bài toán cái túi 0/1 giải bằng quy hoạch động mất thời gian O(nW). Vì sao điều này được gọi là giả đa thức?

  1. AW là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
  2. BVì nó chỉ hoạt động khi W = 0
  3. CVì thuật toán là ngẫu nhiên và thời gian chạy thay đổi theo từng đầu vào
  4. DVì n luôn nhỏ
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Chương trình đang chạy dùng cấu trúc dữ liệu nào để theo dõi các lời gọi hàm đang hoạt động và biến cục bộ của chúng?

  1. AHàng đợi bộ nhớ heap
  2. BNgăn xếp lời gọi (call stack)
  3. CBảng băm các hàm
  4. DCây tìm kiếm nhị phân các khung
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chèn một khóa vào cây AVL làm cây con trái của một nút quá cao, và khóa mới đi vào cây con trái của con trái của nó (trường hợp trái-trái). Cách sửa nào được áp dụng?

  1. AXoay trái tại nút con, rồi xoay phải tại nút
  2. BMột phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
  3. CMột phép xoay trái đơn tại nút mất cân bằng
  4. DTô lại màu nút và con của nó
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một cây có 3 đỉnh bậc 3, 3 đỉnh bậc 4, 3 đỉnh bậc 5, và mọi đỉnh khác của nó đều là lá (bậc 1). Nó có bao nhiêu lá L?

3 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
91241548814ABCDEF

Thuật toán Dijkstra chạy từ A. Hãy nhấp vào đỉnh được chốt (trở thành cố định) ở vòng 4; bản thân A là vòng 1.

bắt đầu: Avòng 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(n)

Vì sao đây là đáp án

Điền bảng từ 0 đến n mất một phép cộng mỗi ô, nên công việc là tuyến tính thay vì hàm mũ.

Đáp số

B · O(n)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W

Vì sao đây là đáp án

Thời gian chạy là đa thức theo giá trị của W nhưng là hàm mũ theo độ dài của nó (log W bit); bài toán cái túi 0/1 là NP-đầy đủ.

Đáp số

A · W là một giá trị số, nên thời gian là hàm mũ theo số bit dùng để viết W
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Ngăn xếp lời gọi (call stack)

Vì sao đây là đáp án

Mỗi lời gọi đẩy một khung ngăn xếp và mỗi lần trả về lấy nó ra, đó là lý do lời gọi gần nhất kết thúc trước.

Đáp số

B · Ngăn xếp lời gọi (call stack)
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng

Vì sao đây là đáp án

Trong trường hợp trái-trái, một phép xoay phải nâng con trái lên và khôi phục cân bằng; các trường hợp zig-zag cần xoay kép.

Đáp số

B · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: L = 20

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Bổ đề bắt tay cho một cây

L + 36 = 2(L + 9) − 2
L = 20

Đáp số

L = 20

Cách nhanh: L = 2 + Σ (d − 2) trên các đỉnh có bậc d ≥ 3.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: E

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

1. A (0): B: 9, C: 12
2. B (9): D: 24, E: 13
3. C (12)
4. E (13): D: 21, F: 14
5. F (14)
6. D (21)

vòng 4

E

Đáp số

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms