Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Độ phức tạp thời gian của: for i = 1 to n: for j = 1 to i: thực hiện công việc O(1) là gì?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n³)
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Cận nào là đúng cho log(n!)?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Tìm một từ có độ dài L trong trie với bảng chữ cái cố định mất bao lâu?

  1. AO(L × n)
  2. BO(n), với n là số từ
  3. CO(L), không phụ thuộc số từ được lưu
  4. DO(log n), với n là số từ
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Chèn một khóa vào cây AVL làm cây con trái của một nút quá cao, và khóa mới đi vào cây con trái của con trái của nó (trường hợp trái-trái). Cách sửa nào được áp dụng?

  1. ATô lại màu nút và con của nó
  2. BMột phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
  3. CMột phép xoay trái đơn tại nút mất cân bằng
  4. DXoay trái tại nút con, rồi xoay phải tại nút
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình

Một đồ thị liên thông có 13 đỉnh và 14 cạnh. Phải bỏ bao nhiêu cạnh k để còn lại một cây khung?

|V| = 13|E| = 14
k =
6.Lý thuyết đồ thịKhó
23314311371113714ABCDEFG

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(F) của đường đi ngắn nhất từ A đến F trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: F
d(F) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · O(n²)

Vì sao đây là đáp án

Thân vòng lặp trong chạy tổng cộng n(n + 1) / 2 lần, vẫn là bậc hai.

Đáp số

A · O(n²)
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: D · Θ(n log n)

Vì sao đây là đáp án

log(n!) ≤ n log n, và n / 2 thừa số lớn nhất cho log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); đó là lý do sắp xếp dựa trên so sánh cần Ω(n log n).

Đáp số

D · Θ(n log n)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu

Vì sao đây là đáp án

Mỗi ký tự chọn một con, nên tra cứu mất L bước bất kể trie chứa bao nhiêu từ.

Đáp số

C · O(L), không phụ thuộc số từ được lưu
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: B · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng

Vì sao đây là đáp án

Trong trường hợp trái-trái, một phép xoay phải nâng con trái lên và khôi phục cân bằng; các trường hợp zig-zag cần xoay kép.

Đáp số

B · Một phép xoay phải đơn tại nút mất cân bằng
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: k = 2

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các cạnh của cây khung

13 − 1 = 12

Các cạnh cần bỏ

k = 14 − 12 = 2

Đáp số

k = 2
6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(F) = 13

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 2, C: 3
B (2): D: 16, G: 13
C (3): E: 6
E (6): F: 13
F (13)
G (13)
D (16)

Đường đi ngắn nhất

A → C → E → F
d(F) = 13

Đáp số

d(F) = 13

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms