Cấu trúc dữ liệu và giải thuật: gói ôn nước rút

Bảng công thức, các bước phương pháp chính cho từng chủ đề và 6 bài tập, kèm lời giải đầy đủ ở cuối.

Bài mớiQuay lại môn học

Trong cửa sổ in, hãy chọn “Lưu dưới dạng PDF” để giữ một bản trên thiết bị của bạn.

1Công thức và phương pháp

Lý thuyết đồ thị

Bổ đề bắt tay
Σ deg(v) = 2|E|
Đồ thị đầy đủ
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Đồ thị đều
|E| = n·k/2
Cây và rừng
|E| = n − 1, |E| = n − c
Lá của cây
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
chu trình: mọi bậc đều chẵn; đường đi: đúng 2 bậc lẻ
Chu trình Hamilton trong Kn
(n − 1)!/2
Cập nhật Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Đường đi độ dài L
(Mᴸ)ij

Phương pháp

  1. Hãy ghi bậc của mỗi đỉnh; tổng các bậc bằng hai lần số cạnh.
  2. Với bài Euler, hãy kiểm tra đồ thị liên thông và đếm số đỉnh có bậc lẻ.
  3. Với cây, hãy dùng n − 1 cạnh và bổ đề bắt tay.
  4. Với Dijkstra, hãy lập bảng khoảng cách tạm thời và mỗi vòng chốt đỉnh chưa chốt có giá trị nhỏ nhất.
  5. Với cây khung nhỏ nhất, hãy sắp xếp các cạnh theo trọng số và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình (Kruskal), hoặc mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát (Prim).

2Bài tập

1.Thuật toán và độ phức tạpTrung bình

Quicksort luôn dùng phần tử đầu tiên làm pivot. Trên đầu vào nào nó thể hiện hành vi xấu nhất?

  1. AMột mảng đã được sắp xếp
  2. BMột mảng có thứ tự ngẫu nhiên
  3. CMột mảng mà các phần tử đều khác nhau
  4. DMột mảng có độ dài 2
2.Thuật toán và độ phức tạpKhó

Thuật toán quy hoạch động Held–Karp giải chính xác bài toán người bán hàng rong. Thời gian chạy của nó cho n thành phố là bao nhiêu?

  1. AO(n!)
  2. BO(n² 2ⁿ)
  3. CO(n³)
  4. DO(2n²)
3.Cấu trúc dữ liệuTrung bình

Trong đống nhị phân min lưu trong mảng (chỉ số bắt đầu từ 0), các con của nút ở chỉ số i nằm ở:

  1. Ai/2 và i/2 + 1
  2. Bi + 1 và i + 2
  3. C2i và 2i + 1
  4. D2i + 1 và 2i + 2
4.Cấu trúc dữ liệuKhó

Làm thế nào phát hiện danh sách liên kết đơn có chu trình hay không bằng O(1) bộ nhớ thêm?

  1. ALưu mọi nút đã thăm trong một tập băm
  2. BĐếm số nút cho đến khi số đếm vượt trường độ dài của danh sách
  3. CDi chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
  4. DSắp xếp danh sách và tìm phần tử trùng
5.Lý thuyết đồ thịTrung bình
ABCDEFGChu trình EulerĐường đi Euler, không có chu trìnhkhông phải cả hai

Đồ thị liên thông có chu trình Euler, đường đi Euler không phải chu trình, hay không có cái nào? Hãy nhấp vào đáp án của bạn.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Chu trình Euler
  2. 2Đường đi Euler, không có chu trình
  3. 3không phải cả hai
6.Lý thuyết đồ thịKhó
1191109975ABCDEF

Hãy dùng thuật toán Dijkstra để tìm độ dài d(D) của đường đi ngắn nhất từ A đến D trong đồ thị có trọng số.

bắt đầu: Akết thúc: D
d(D) =

3Dung dịch

1.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: A · Một mảng đã được sắp xếp

Vì sao đây là đáp án

Trên đầu vào đã sắp xếp, pivot luôn là giá trị nhỏ nhất, nên một bên rỗng và bên kia có n − 1 phần tử, cho O(n²).

Đáp số

A · Một mảng đã được sắp xếp
2.Thuật toán và độ phức tạp

Đáp số: B · O(n² 2ⁿ)

Vì sao đây là đáp án

Có khoảng n 2ⁿ trạng thái, mỗi trạng thái tính trong O(n); đây là hàm mũ nhưng nhanh hơn nhiều so với thử mọi hành trình (n − 1)!.

Đáp số

B · O(n² 2ⁿ)
3.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: D · 2i + 1 và 2i + 2

Vì sao đây là đáp án

Với mảng bắt đầu từ 0, con trái ở 2i + 1, con phải ở 2i + 2, và cha ở ⌊(i − 1)/2⌋.

Đáp số

D · 2i + 1 và 2i + 2
4.Cấu trúc dữ liệu

Đáp số: C · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không

Vì sao đây là đáp án

Trong thuật toán Floyd, nếu có chu trình thì con trỏ nhanh cuối cùng bắt kịp con trỏ chậm; nếu không con trỏ nhanh đến null.

Đáp số

C · Di chuyển một con trỏ một bước và con trỏ kia hai bước rồi kiểm tra chúng có gặp nhau không
5.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: Đường đi Euler, không có chu trình

Euler, Hamilton và cây: một đồ thị liên thông có chu trình Euler (đi qua mỗi cạnh một lần, trở về điểm đầu) khi mọi đỉnh có bậc chẵn, và có đường đi Euler không phải chu trình khi có đúng hai đỉnh bậc lẻ; khi đó đường đi chạy từ một đỉnh lẻ đến đỉnh lẻ kia. Một chu trình Hamilton thăm mỗi đỉnh một lần; Kn có (n − 1)!/2 chu trình như vậy. Một cây trên n đỉnh có n − 1 cạnh, và một đồ thị liên thông có m cạnh còn lại một cây khung sau khi bỏ m − n + 1 cạnh.

Các bậc

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Các đỉnh lẻ

C, G → 2
Đường đi Euler, không có chu trình

Đáp số

Đường đi Euler, không có chu trình

Đường đi Euler bắt đầu ở một đỉnh lẻ và kết thúc ở đỉnh lẻ kia.

6.Lý thuyết đồ thị

Đáp số: d(D) = 20

Đường đi ngắn nhất và cây khung: thuật toán Dijkstra chốt một đỉnh mỗi vòng: đỉnh chưa chốt có khoảng cách tạm thời nhỏ nhất. Khoảng cách của nó khi đó là cuối cùng, và mỗi đỉnh kề v được d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Thuật toán Kruskal xây dựng cây khung nhỏ nhất bằng cách lấy các cạnh từ nhẹ đến nặng và bỏ qua mọi cạnh tạo thành chu trình; thuật toán Prim mở rộng một cây từ một đỉnh xuất phát bằng cách luôn thêm cạnh nhẹ nhất đi ra khỏi cây. Một cây khung của n đỉnh có n − 1 cạnh.

Dijkstra từng vòng

Mỗi dòng: đỉnh được chốt, khoảng cách cuối cùng của nó, và các đỉnh kề có khoảng cách được cải thiện.

A (0): B: 11, C: 9
C (9): B: 10, E: 18
B (10): D: 20, E: 15
E (15): F: 22
D (20)
F (22)

Đường đi ngắn nhất

A → C → B → D
d(D) = 20

Đáp số

d(D) = 20

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms